一、选择题
→→→
1．在平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，则BD的相反向量是( ) A．a－b C．a＋b
B．b－a D．－a－b
→→→
【解析】 ∵BD＝AD－AB＝b－a， →
∴BD的相反向量为－(b－a)＝a－b. 【答案】 A
2．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) →→→
A.EF＝OF＋OE →→→C.EF＝－OF＋OE
→→→B.EF＝OF－OE →→→D.EF＝－OF－OE
→→→
【解析】 ∵O，E，F是不共线的任意三点，∴OE＋EF＝OF，由此可以推→→→
出EF＝OF－OE.故选B.
【答案】 B 3.
图2－1－25
→→
如图，D、E、F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则AF－DB等于( ) →A.FD →C.FE
→→
【解析】 由图易知AF＝DE， →→→→→∴AF－DB＝DE－DB＝BE，
→B.FC →D.DF
→→→→→又BE＝DF，∴AF－DB＝DF. 【答案】 D
4.(2013·中山高一检测)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是
( )
图2－1－26
→→A.AB＝DC →→→B.AD＋AB＝AC →→→C.AB－AD＝BD →→D.AD＋CB＝0
→→→
【解析】 AB－AD＝DB，故C项错． 【答案】 C
→→→→→→
5．O是四边形ABCD所在平面上任一点，AB∥CD，且|OA－OB|＝|OC－OD|，则四边形ABCD一定为( )
A．菱形 C．矩形
B．任意四边形 D．平行四边形
→→→→→→→→【解析】 由|OA－OB|＝|OC－OD|知|BA|＝|DC|，且AB∥CD，故四边形ABCD是平行四边形．
【答案】 D 二、填空题
→→
6．在△OAB中，已知OA＝a，OB＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°，则|a－b|＝________.
→→→
【解析】 a－b＝OA－OB＝BA，∵|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°，故△AOB为→
等边三角形，∴|BA|＝4，即|a－b|＝4.
【答案】 4
7．(2013·徐州高一检测)已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一
→→→→→
点C，满足2AC＋CB＝0，则OC可用OA、OB表示为________．
→→→→→
【解析】 OC＝OB＋BC＝OB＋2AC →→→＝OB＋2(OC－OA)， →→→∴OC＝2OA－OB. →→
【答案】 2OA－OB 8．给出以下五个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b；
②任一非零向量的方向都是唯一的； ③|a|－|b|＜|a＋b|；
④若|a|－|b|＝|a|＋|b|，则b＝0；
→→→
⑤已知A、B、C是平面上任意三点，则AB＋BC＋CA＝0. 其中正确的命题有________．
【解析】 由|a|＝|b|，得不到a＝b，因为两个向量相等需要模相等，方向相同，故①不正确；当b＝0时，|a|－|b|＝|a＋b|，故③不正确．
【答案】 ②④⑤ 三、解答题
→→→
9．设O是△ABC内一点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，若以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，→→→
其第四个顶点为H.试用a，b，c表示DC、DC、BH.
【解】 由题意可知四边形OADB为平行四边形， →→→
∴OD＝OA＋OB＝a＋b，
→→→
∴DC＝OC－OD＝c－(a＋b)＝c－a－b. 又四边形ODHC为平行四边形， →→→
∴OH＝OC＋OD＝c＋a＋b， →→→
∴BH＝OH－OB＝a＋b＋c－b＝a＋c.
10．(2013·泰安高一检测)已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M
→→
是斜边AB的中点，CM＝a，CA＝b，求证：
(1)|a－b|＝|a|； (2)|a＋(a－b)|＝|b|.
【证明】 如图，在等腰Rt△ABC中，由M是斜边AB的中点， →→→→得|CM|＝|AM|，|CA|＝|CB|.
→→→
(1)在△ACM中，AM＝CM－CA＝a－b. →→
于是由|AM|＝|CM|， 得|a－b|＝|a|.
→→
(2)在△MCB中，MB＝AM＝a－b， →→→所以CB＝MB－MC ＝a－b＋a＝a＋(a－b)． →→
从而由|CB|＝|CA|， 得|a＋(a－b)|＝|b|.
→→→→
11．在平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，先用a，b表示向量AC和DB，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
→
【解】 由向量加法的平行四边形法则，得AC＝a＋b，同样，由向量的减→→→
法知DB＝AB－AD＝a－b.
则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形； 当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．
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