=3·［4+C12n·4
2n2n－1
n?1
(－1)+?+C22n·4·(－1)+(－1)］=4n+3，
2n∴3+1∈{bn} 2n而数3=(4－1)
2n2n2n =4+C12n·4
2n2n－1
n?1
·(－1)+?+C22n·4·(－1)+(－1)=(4k+1)，
2n2n+1
∴3?{bn}，而数列{an}={a2n+1}∪{a2n}，∴dn=3
2n+1
32n?1?3(3)由3=4·r+3，可知r=，
4r(7?4r?3)32n?1?332n?1?72727?r(2r?5)??,Dn??(1?9n)?(9n?1)， ∴Br=
2421?9892n?1?4?32n?1?2127n?Tn?Br?Dn??(9?1)889113 ??34n??32n?,(an)4?34n,884T9?limn4?n??(an)8
例3 设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项 (1)写出数列{an}的前3项
(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)
a1a*
(3)令bn=(n?1?n)(n∈N)，求lim (b1+b2+b3+?+bn－n) 2anan?1n??a1?2?2S1，S1=a1， 2a?2a?2∴1?2a1，解得a1=2 当n=2时，有2?2S2，S2=a1+a2，
22解析 (1)由题意，当n=1时，有
将a1=2代入，整理得(a2－2)=16，由a2＞0，解得a2=6 2
当n=3时，有
a3?2?2S3，S3=a1+a2+a3， 22
将a1=2，a2=6代入，整理得(a3－2)=64，由a3＞0，解得a3=10
故该数列的前3项为2，6，10
(2）解法一 由(1）猜想数列{an} 有通项公式an=4n－2
下面用数学归纳法证明{an}的通项公式是an=4n－2，(n∈N） *
①当n=1时，因为4×1－2=2，，又在(1)中已求出a1=2，所以上述结论成立 ②假设当n=k时，结论成立，即有ak=4k－2，由题意，有将ak=4k－2 代入上式，解得2k=2Sk，得Sk=2k，
ak?2?2Sk，22
ak?1?2?2Sk?1，Sk+1=Sk+ak+1， 2a?2222
将Sk=2k代入得(k?1)=2(ak+1+2k)，
2由题意，有
整理得ak+1－4ak+1+4－16k=0，由ak+1＞0，解得ak+1=2+4k， 所以ak+1=2+4k=4(k+1)－2， 即当n=k+1时，上述结论成立 22
根据①②，上述结论对所有的自然数n∈N成立
*
an?21*2
?2Sn，(n∈N) 整理得，Sn=(an+2), 2811222
由此得Sn+1=(an+1+2)，∴an+1=Sn+1－Sn=［(an+1+2)－(an+2)］ 88解法二 由题意知
整理得(an+1+an）(an+1－an－4)=0， 由题意知an+1+an≠0，∴an+1－an=4，
即数列{an}为等差数列，其中a1=2，公差d=4 ∴an=a1+(n－1)d=2+4(n－1)，即通项公式为an=4n－2 解法三 由已知得
an?2*
?2Sn,(n∈N) ①， 2an?1?2?2Sn?1 ②， 2S?Sn?2由②式得n?1?2Sn?1，
2所以有
整理得Sn+1－22·Sn?1+2－Sn=0， 解得Sn?1?2?Sn，
由于数列{an}为正项数列，而S1?2,?Sn?1?Sn?2， 因而Sn?1?2?Sn，
即{Sn}是以S1?2为首项，以2为公差的等差数列 所以Sn= 2+(n－1) 2=2n,Sn=2n，
2
?2,(n?1)*
故an=?即an=4n－2(n∈N)
?Sn?Sn?1?4n?2,(n?2)a1a(3)令cn=bn－1，则cn=(n?1?n?2)
2anan?112n?12n?111?[(?1)?(?1)]??, 22n?12n?12n?12n?1b1?b2???bn?n?c1?c2???cn
111111?(1?)?(?)???(?)?1?,
3352n?12n?12n?11?lim(b1?b2???bn?n)?lim(1?)?1. n??n??2n?1
学生巩固练习 1 设zn=(
1?in*
)，(n∈N)，记Sn=｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+?+｜zn+1－2zn｜，则limSn=_________ n??
2 作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，
在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________
3 数列{an}满足a1=2，对于任意的n∈N都有an＞0,且(n+1)an+an·an+1
*2
－nan+1=0，又知数列{bn}的通项为bn=2
2n－1
+1 (1)求数列{an}的通项an及它的前n项和Sn； (2)求数列{bn}的前n项和Tn；
(3)猜想Sn与Tn的大小关系，并说明理由
4 数列{an}中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1－an,(n∈N) *
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn=｜a1｜+｜a2｜+?+｜an｜,求Sn; (3)设bn=
1**
(n∈N),Tn=b1+b2+??+bn(n∈N),是否存在最大的
n(12?an)*
整数m，使得对任意n∈N均有Tn＞在，说明理由 m成立？若存在，求出m的值；若不存325 设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=(m+1)－man 对任意正整数n都
成立，其中m为常数，且m＜－1 (1)求证 {an}是等比数列；
(2)设数列{an}的公比q=f(m)，数列{bn}满足 b1=
1a1,bn=f(bn－1)(n≥3何
值
时
，
2,nn??∈N)
*
试问当m为
lim(bn?lgan)?lim3(b1b2?b2b3???bn?1bn)成立？
n??6 已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+?+b10=145 (1)求数列{bn}的通项bn； (2)设数列{an}的通项an=loga(1+
1)(其中a＞0且a≠1),记Sn是数列bn{an}的前n项和，试比较Sn与
1logabn+1的大小，并证明你的结论 37 设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式 3tSn－(2t+3)Sn
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