合肥工业大学试卷参考答案B卷 - 图文 

合肥工业大学试卷参考答案（B卷）

2003~2004学年第 二 学期 课程名称 数字信号处理 考试班级自动化01-1~7班 学生学号 学生姓名 成绩

一. 计算题（共60分，12分/题）

1. 设模拟信号x(t)=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt，求： （1） 该信号的最小采样频率；

（2） 若采样频率fs=5000Hz，其采样后的输出信号； 解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是

f1=1000Hz，f2=3000Hz，f3=6000Hz

∴信号的最高频率fm=6000Hz

由采样定理fs≥2fm，得信号的最小采样频率fs=2fm =12kHz （2）由于采样频率fs=5kHz，则采样后的输出信号

?n?

x(n)=x(t)t=nT=x(nTs)=x??f??s

?s?

??6????3????1??

πnπn25sin210cos???+?+=3cos??????2π?5?n??????55??????????????1????1????2??

???πnπn25sin2110cos=3cos????+???????2π?1+5?n?? ??55??????????????1????2????1??πnπn25sin210cos???+??=3cos??????2π?5?n??????55??????????????2????1??πn25sin???=13cos????2π?5?n????5????????

2. 设x(n)的傅里叶变换为X(ej)，试利用X(ej)表示下列序列的傅里叶变换：

ωω（1） x1(n)=x(1?n)+x(?1?n) （2） x(n)=

1

[x(n)+x?(?n)] 2

jω解：（1）由于DTFT[x(n)]=X(e则

)，DTFT[x(?n)]=X(e?jω)

DTFT[x(1?n)]=e?jωX(e?jω) DTFT[x(?1?n)]=ejωX(e?jω)

故DTFT[x1(n)]=X(e

?

?jω)[e?jω+ejω]=2X(e?jω)cosω

?

jω（2）由于DTFT[x(?n)]=X(e)

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X(ejω)+X?(ejω)

故DTFT[x2(n)]==Re[X(ejω)]

2

3. 已知两个有限长序列为

?n+1，0≤n≤3x(n)=?

4≤n≤6?0，

?10≤≤4n，?

y(n)=?

5≤n≤6?1，

7 y(n)。 试作图表示x(n)，y(n)以及f(n) =x(n)○

解：其结果如图所示。

4. 随机相位正弦波

x(t)=Asin(ωt+?0)

式中，A,ω均为常数，φ0在0~2π内随机取值，试求其自相关函数。 解：由自相关函数的定义式，得

1T

Rxx(τ)=lim∫x(t)x(t+τ)dt

T→∞T0

1T/22

=lim∫Asin(ωt+?0)sin[ω(t+τ)+?0]dtT→∞T?T/2

令ωt+?0=α则dt=

1

ωdα，且ωT=2π

A2T/22

αcosωτ+sinαcosαsinωτdα故Rxx(τ)=limsin

T→∞2π∫?T/2A2=cosωτ2

()5. 设模拟滤波器的系统函数为

H(s)=

s+a

22

(s+a)+b

试利用冲激响应不变法，设计IIR数字低通滤波器。

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解：将H(s)展开成部分分式，得

H(s)=

对H(s)取拉氏反变换，得

1/21/2s+a

=+

(s+a)2+b2s+a+jbs+a?jb

1?(a+jb)t1?(a?jb)t

e+e

22

1?(a+jb)nT

e+e?(a?jb)nT 2

h(t)=

对h(t)作周期为T的等间隔采样，得

h(n)=h(t)t=nT=

∞

[]对h(n)取Z变换，得IIR数字低通滤波器的系统函数为

H(z)=∑h(n)z?n=

n=0

1?11?

+?(a+jb)T?1

2?z1?e?(a?jb)Tz?1??1?e?

1?(e?aTcosbT)z?1=

1?(2e?aTcosbT)z?1+e?2aTz?2

二. 简答题（共21分，7分/题）

1. 利用循环卷积计算线性卷积的条件是什么？试用框图表明其实现过程。

答：设两个有限长序列x(n)、h(n)的点数分别为N和M，其循环卷积的长度为L，则要用循环卷积计算线性卷积的条件是：循环卷积的长度L必须不小于线性卷积的长度N+M-1，即

L≥N+M-1

用循环卷积实现线性卷积的过程如图所示。 X(k)x(n) x(n) 补零扩展L点DFT

L点 N点 X(k)H(k)y(n)

相乘L点IDFT

h(n) h(n) L点DFT补零扩展H(k)L点 M点

2. 经典谱估计法有哪两种方法？二者有何不同？ 答：经典谱估计法包括相关估计法和周期图法。

二者的不同在于：相关估计法是通过数据的自相关序列来求功率谱的，而周期图法则是由数据直接用离散傅里叶变换来求功率谱的。

3. 数字滤波器从实现方法上可分为哪两类？从特点上看，二者的最大区别在于什么？ 答：数字滤波器从实现方法上可分为IIR滤波器和FIR滤波器。

二者的最大不同的特点在于：FIR滤波器是具有严格线性相位的数字滤波器，而IIR滤波器的相位特性是非线性的。

三. 作图题（共7分，7分/题）

1. 试绘制出N=8时基-2按时间抽取法（DIT）的FFT流图（时间抽取采用输入倒位序，输出自然数顺序）。 解：

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四. 证明题（共12分，12分/题）

1. 若x1(n),x2(n)是因果稳定序列，求证：

12π∫π?

πX1(ejω)X2(ejω)dω={12π∫π?

πX1(ejω)dω}{

12π∫π?

πX2(ejω)dω}

证：设y(n)=x1(n)?x2(n) 则由时域卷积定理，得

Y(ejω)=X1(ejω)X2(ejω)

即

1πx1(n)?x2(n)=y(n)=Y(ejω)ejωndω∫2π?π

π1=X1(ejω)X2(ejω)ejωndω∫2π?π令上式的左右两边n=0，得

1

2π∫πX

?

π1

(e)X2(e)dω=x1(n)?x2(n)n=0

=x1(0)?x2(0)

jωjω?n?=?∑x1(k)x2(n?k)??k=0?n=0

又傅里叶反变换公式，得

x1(n)=

则

1

2π∫π?

πX1(ejω)ejωndω，x2(n)=

π12π∫π?

πX2(ejω)ejωndω

1

x1(0)=

2π所以

∫π?

1

X1(e)dω，x2(0)=

2πjω∫πX

?

π2

(ejω)dω

12π∫π?

πX1(ejω)X2(ejω)dω={12π∫π?

πX1(ejω)dω}{

12π∫π?

πX2(ejω)dω}

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