宁夏育才中学2019-2020学年高二下学期第一次月考
数学（理科）试题
(试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1*
2n－1
A．1＋12<2 B．1＋11
2＋3＜2
C．1＋12＋13＜3 D．1＋12＋13＋14
＜3
2. 由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( A．各正三角形内一点 B．各正三角形的某高线上的点 C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某点 3. 不等式a＞b与11
a＞b同时成立的充要条件为( )
A．a＞b＞0 B．a＞0＞b C. 1b＜1a＜0 D.11
a＞b＞0
4. 下列推理是归纳推理的是( )
A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆 B．由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2
+y2
=r2
的面积πr2
,猜想出椭圆x2y2a2?b2?1的面积S=πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
5. 用反证法证明命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个是偶数”正确的假设为( )
A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数 D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
6. 4. 若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x－y＋1＝0，则( )
A．f′(x0)＜0 B．f′(x0)＞0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
7. 已知函数f(x)＝x3
＋ax2
＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 8. 函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最小值为( )．
)
)．
412
A．0 B. C. 4 D.2
eee
9. 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)
在开区间(a，b)内有极小值点( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10. 函数
f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的函数图象可能是( )
11. 已知函数f(x)＝－x＋ax＋bx(a，b∈R)的图像如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图像所1
围成区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为( )
12
A．－1 C．1
3
2
3
2
B．0 D．－2
12. 已知函数f(x)＝－x＋ax－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)
的最小值是( )
A．－13 B．－15 C．10 D．15
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
3
13. 曲线y＝x－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
14. 一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 。 15. 已知a1?3，an?1?3
3an，试通过计算a2，a3，a4，a5的值，推测出an＝___________. an?32
16. 已知函数f(x)＝mx＋nx的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是__________．
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤（共70分）
17. （10分）（1）. 求函数y?x4?x3的极值.
（2）.求由直线y?x?2和曲线y??x2所围成的图形的面积.
112
a＋2－2≥a＋－2.(12分)
aa
222222*
19. （12分） 用数学归纳法证明： 1－2＋3－4＋…＋(2n－1)－(2n)＝－n(2n＋1)(n∈N)． 18. （12分）用分析法证明：若a＞0，则
12
20. （12分） 已知函数f(x)＝ax＋blnx在x＝1处有极值. 2
(1)求a，b的值；
(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．
21. （12分）设函数f(x)＝x－－aln x(a∈R)．
131
x(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线的斜率为k.问：
是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
22
22. （12分） 已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝(x－a)＋(lnx－a).
(1)求函数f(x)在A(1,0)处的切线方程；
(2)若g′(x)在[1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围； 1
(3)证明：g(x)≥.
2
宁夏育才中学2019-2020学年高二下学期第一次月考
数学（理科）试题参考答案
(试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
111*
1. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋n
232－1
111
A．1＋<2 B．1＋＋＜2
22311111C．1＋＋＜3 D．1＋＋＋＜3
23234
[答案] B
2. 由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )
A．各正三角形内一点 B．各正三角形的某高线上的点 C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某点 [答案] C
[解析] 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形表示的侧面，所以边的中点对应的就是正三角形的中心．故选C.
11
3. 不等式a＞b与＞同时成立的充要条件为( )
abA．a＞b＞0 B．a＞0＞b 1111
C. ＜＜0 D.＞＞0
baab[答案] B a＞b??
[解析] ?11
＞??ab
2
2
a＞b??
??a－b＜0??ab
??a＞b??
?ab＜0?
?a＞0＞b，故选B.
4. 下列推理是归纳推理的是( )
A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆 B．由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式
x2y2C．由圆x+y=r的面积πr,猜想出椭圆2?2?1的面积S=πab
ab2
2
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 【答案】B
5. 用反证法证明命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个是偶数”正确的假设为( )
A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数
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