7-7-5.容斥原理之最值问题
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
教学目标
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AB?A?B?AB(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A?B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进
来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C?AB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
1．先包含——A?B
重叠部分AB计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A?B?AB
把多加了1次的重叠部分AB减去．
二、三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和?A类元素的个数?B类元素个数?C类元素个数?既是A类又是B类的元素个数?既是B类又是C类的元素个数?既是A类又是C类的元素个数?同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：ABC?A?B?C?AB?BC?AC?ABC．图示如下：
图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数．
1．先包含：A?B?C
重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A?B?C?AB?BC?AC
重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行A?B?C? AB?BC?AC计算时都被减掉了．
3．再包含：A?B?C?AB?BC?AC?ABC．
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考． 例题精讲
【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。每个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年
级都不同。如果每道题出现在不同年级，最多只能出现3次。本届活动至少要准备 道决赛试题。
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，4年级，决赛，第9题 【解析】 每个年级都有自己8道题目，然后可以三至五年级共用4道题目，六到八年级共用4道题目，总共有
8?6?4?2?56（道）题目。
【答案】56题
【例 2】 将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个
圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于
被重复计算多的区格中，最大和为： 13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.
【答案】240
【例 3】 如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在
这个五角星上红色点最少有多少个?
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 如下图，下图中“”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应的线段都在“”位置
恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，所以此时显现的红色点最少，有1994×5-(2-1)×10=9960个．
【答案】9960
【例 4】 某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少
有多少学生这三项运动都会？
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 （法1）首先看至少有多少人会游泳、自行车两项，由于会游泳的有27人，会骑自行车的有33人，
而总人数为48人，在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况下，两项都会的学生至少有27?33?48?12人，再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数，至少有12?40?48?4人.
该情况可以用线段图来构造和示意：
23|24总人数游泳自行车游泳0|115|1627|2827人33人40人48|48人
（法2）设三项运动都会的人有x人，只会两项的有y人，只会一项的有z人， 那么根据在统计中会n项运动的学生被统计n次的规律有以下等式：
?3x?2y?z?27?33?40? ?x?y?z?48
?x,y,z?0? 由第一条方程可得到z?100?3x?2y，将其代入第二条式子得到： 100?2x?y?48，即2x?y?52①
而第二条式子还能得到式子x?y?48，即2x?y?48?x② 联立①和②得到48?x?52，即x?4．可行情况构造同上． 【答案】4
【巩固】某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每
人最多参加两科，那么参加两科的最多有 人．
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 根据题意可知，该班参加竞赛的共有28?23?20?71人次．由于每人最多参加两科，也就是说有参
加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是71人次．要求参加两科的人数最多，则让这71人次尽可能多地重复，而71?2?351，所以至多有35人参加两科，此时还有1人参加1科． 那么是否存在35人参加两科的情况呢？由于此时还有1人是只参加一科的，假设这个人只参加数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有(28?22?20)?2?15人，参加语文、英语两科的共有28?15?13人，参加数学、英语两科的共有20?13?7人．也就是说，此时全班有15人参加语文、数学两科，13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语两科，1人只参加数学1科，还有14人不参加．检验可知符合题设条件．所以35人是可以达到的，则参加两科的最多有35人．（当然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）
【答案】35
234【巩固】60人中有的人会打乒乓球，的人会打羽毛球，的人会打排球，这三项运动都会的人有22人，
345问：这三项运动都不会的最多有多少人？
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 设只会打乒乓球和羽毛球两项的人有x人，只会打乒乓球和排球两项的有y人，只会打羽毛球和排
球两项的有z人．由于只会三项运动中的一项的不可能小于0，所以x、y、z有如下关系： ?40??x?y?22??0?? ?45??x?z?22??0
???48??y?z?22??0将三条关系式相加，得到x?y?z?33，而60人当中会至少一项运动的人数有
40?45?48??x?y?z??2?22?56人，所以60人当中三项都不会的人数最多4人（当x、y、z分
别取7、11、15时，不等式组成立）．
【答案】4
【例 5】 图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有
33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?
B乙A甲C丙【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 设甲借过的书组成集合A，乙借过的书组成集合B，丙借过的书组成集合C．A=33, B=44，C=55，
AB=29，AC=25，BC=36．
本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与100作差即可．
ABC?A?B?C?AB?AC?BC?ABC, 当ABC最大时，ABC有最大值.也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中至少
有一人借过的书最多．
而A所以ABCBC最大不超过A、B、C、AB、BC、AC 6个数中的最小值，
最大为25．此时ABC=33+44+55-29-25-36+25=67，即三者至少有一人借过的书最多为67本，
所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过．
【答案】33
【巩固】甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已
知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 考虑甲乙两人情况，有甲乙都读过的最少为：75+60-100=35个，此时甲单独读过的为75-35=40个，
乙单独读过的为60-35=25个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52-40=12个．
【答案】12
【例 6】 某数学竞赛共160人进入决赛，决赛共四题，做对第一题的有136人，做对第二题的有125人，做
对第三题的有118人，做对第四题的有104人。在这次决赛中至少有____得满分。
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】走美杯，5年级，决赛，第10题 【解析】 设得满分的人都做对3道题时得满分的人最少，有136+125+118+104-160?3=3(人)。 【答案】3人
【例 7】 某班有46人，其中有40人会骑自行车，38人会打乒乓球，35人会打羽毛球，27人会游泳，则该
班这四项运动都会的至少有 人。
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 不会骑车的6人，不会打乒乓球的8人，不会羽毛球的11人，不会游泳的19人，那么至少不会一
项的最多只有6+8+11+19=44人，那么思想都会的至少44人
【答案】44人
【例 8】 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，
丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】5星 【题型】填空 【解析】 为了恰好被3个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人浇过的
花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30盆，那么接下来就变成乙浇了45盆，丙浇了50盆，丁浇60盆了，这时共有100?30?70盆花，我们要让这70盆中恰好被3个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被3个人浇过的花最少有45?50?60?140?15盆．
【答案】15
【巩固】 甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇
过的花最少有多少盆?
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆，此时甲单独浇过的为78-46=32
盆，乙单独浇过的为68-46=22盆；
欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端．于是三者都浇过花最少为58-32-22=4盆．
【答案】4
【巩固】 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，
丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被1个人浇过的花最少有多少盆？
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】5星 【题型】填空 【解析】 100盆花共被浇水275次，平均每盆被浇2.75次，为了让被浇1次的花多，我们也需要被浇4次的
花尽量多，为30盆，那么余下70盆共被浇155次，平均每盆被浇2.21次，说明需要一些花被浇3次才可以．我们假设70盆都被浇3次，那么多出55次，每盆花少浇2次变为被浇1次最多可以变27次，所以本题答案为27盆．
【答案】27
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