§5.3 平面向量的数量积
1．数量积的概念
已知两个非零向量a与b，我们把数量________________叫做a与b的数量积(或内积)，记作____________，即a·b＝________，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的____________．
a·b的几何意义：数量积a·b等于_____________．
2．数量积的运算律及常用结论 (1)数量积的运算律
①交换律：___________________； ②数乘结合律：_______________________； ③分配律：___________________________． (2)常用结论
①(a±b)＝________________________； ②(a＋b)·(a－b)＝_________________； ③ a＋b＝0?______________________； ④||a|－|b||________|a|＋|b|. 3．数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 ① e·a＝____________. ② a⊥b?____________.
③当a与b同向时，a·b＝____________； 当a与b反向时，a·b＝____________.
特别地，a·a＝____________或|a|＝____________. ④ cosθ＝____________. ⑤|a·b|≤____________.
2
22
4．数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
①a·b＝________________；a＝_____________；|a|＝________________.
2
② a⊥b?____________________.
③|x1x2＋y1y2|≤________________________.
自查自纠
1.|a||b|cosθ a·b |a||b|cosθ 投影 a的长度|a|与b在a的方向上的投影
|b|cosθ的乘积
2．(1)①a·b＝b·a ②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c (2)①a±2a·b＋b ②a－b ③a＝0且b＝0 ④≤
3．①|a|cosθ ②a·b＝0 ③|a||b| －|a||b|
a·b2
|a| a·a ④ ⑤|a||b|
|a||b|4．①x1x2＋y1y2 x1＋y1
2
2
2
2
2
x21＋y1 2
2
2
2
2
2
②x1x2＋y1y2＝0 ③x1＋y1x2＋y2
(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，
b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 1)＝1.故选C.
B．0
C．1
D．2
解：因为2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，所以(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－
(2015·广东)在平面直角坐标系xOy→→→→
中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2，1)，则AD·AC＝( ) D．5
→→→
解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，→→
所以AD·AC＝2×3＋1×(－1)＝5.故选D.
A．2
B．3
C．4
(2015·北京)设a，b是非零向量，
“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．若a·b＝|a||b|，则cos〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0，可得a∥b；若a∥b，则〈a，b〉＝0或π，此时a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|.故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．故选A.
在正三角形ABC中，D是BC上的点，
→→
若AB＝3，BD＝1，则AB·AD＝________.
1515→→→→→
解：如图所示，AB·AD＝AB·(AB＋BD)＝9＋3×cos120°＝，故填.
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(2015·安徽)△ABC是边长为2的等边
→→
三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)
→→
①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥BC；⑤(4a＋b)⊥BC.
1→1→→→→→
解：由AB＝2a，AC＝2a＋b得a＝AB，b＝AC－2a＝BC，④正确；|a|＝|AB|＝1，①正
22
→2
确；|b|＝|BC|＝2，②错误；a与b的夹角为120°，③错误；(4a＋b)·b＝4a·b＋b＝－4＋4＝0，⑤正确．故填①④⑤.
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