高中数学发散思维题的编制及在教学中的使用

高中数学发散思维题的编制及在教学中的使用

福建省仙游一中（351200）杨超拔 Tel:13950766300

摘要：本文讨论了数学发散思维题的概念和有关理论，对数学发散思维题的主要类型的开发编制和相关例题做了

具体的研究，最后针对发散思维题的教学提出三条具体的建议。

关键词：数学发散思维题；编制设计；教学使用

发散思维作为一个新的教研课题，在素质与创新教育全面推进的今天，已受到广大师生的高度重视。发散思维即求异思维、多向思维，它的图示是从一点出发，向思维空间发出的一组射线，犹如夜空中的一道道闪电，激发学生思维的火花。

运用发散思维思考问题时注重多途径、多方案，解决问题时强调举一反三、触类旁通，这与数学思维特性极其相似。数学史乃至科学史上的诸多重要发现源于发散性思维。因此在高中阶段，结合数学试题与教学，正确培养和发展学生的发散思维能力，是个很迫切的课题。

一、 数学发散思维题的有关理论

(一)发散思维题的概念

所谓发散性思维问题，是相对于“条件单一，结论明确”的传统封闭问题而言。 目前尚未形成发散思维题的统一定义，主要有如下观点：

首先，将课本各章知识加以归纳概要，为引导学生展开发散思维奠定基础；之后，针对知识网络可进行思维发散的“结点”，运用数学中转化与化归、数形结合等思想方法，诱导学生逐步进入发散思维空间；最后，借助应用背景和具体实例，对学生进行多维度、多方向、多思、多变的解题辅导。从思维大发散的解题中，培养学生的探究能力，创新能力。

(二)发散思维题的主要类型

题型发散，将由发散知识点出发的典型问题，变换其题型进行发散思维； 解法发散，通过一题多解，多题一解等方法进行发散思维；

变更命题发散，通过变更命题的形式，对原命题的条件和结论改变其一或两者 同时改变，进行发散思维训练；

迁移发散，是利用数式，图形在不同的数学分支中的不同含义与等价形式，把一个分支里的公式、定理、原则或方法，巧妙地迁移到另一个分支中，达到化难为易的目的。

综合发散，通过数学各分科之间的相互联系，数学与物理，化学等其他学科之间的联系来进行发散思维训练。

数学发散思维题的形式还包括逆向发散，构造发散等多种思维形式。

二、 数学发散思维题的编制设计

(一)发散思维题的设计原则 高考数学科《考试说明》指出：“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重数学的科学价值和人文价值。重视试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，实现全面考查综合数学素养的要求。”因此数学发散思维题必须明确概念，强调基础，突出重点，加强综合，注重思想方法，强化能力培养，力求思维多向，方能取得积极成效。下面就数学发散思维题的命制提四个原则：

1、知识性原则。发散思维题的编制与使用应当有利于突出高中数学知识主体，

有利于引导学生理解所学知识的运用情境及其来龙去脉，有利于知识的融会贯通和熟练应用数学的强烈意识 。

2、转化性原则。能让学生观察、联想，深入挖掘题目中的隐蔽条件，联想有关公理公式进行类比转化，达到化繁为简、变难为易。将未知转化为可知，将可知转化为已知 ，最终至问题的解决。

3、科学性原则。题目本身在强调发散时，本身应该遵循科学性原则，揭示数学本质，强化思想方法。题目语言要叙述清楚，条件充分，制约严谨，有明确的要求，以便学生根据情境，分辨情况，迁移知识，得出结果。

4、创新性原则。发散思维题要加强对创新意识的考查，多开发研究型、探索型或开放型的题目。让学生独立思考，自主探索，发挥主观能动性，寻求合适的解题工具。发散思维题的一个重要功能是为学生展现其创新意识、发挥创造能力开辟广阔的空间。

(二)发散思维题型例举与分析

1、知识发散是基础，题型发散成载体

高中数学发散思维题的设计，应注重对数学知识的考查，离开基础知识，发散思维题犹如空中楼阁，无源之水。高考数学试题已形成“重基础、出活题、考能力”的格局，新课教学要重视定理的产生、形成、发展和深化的过程，高考复习要弄清各知识的内部结构和内在联系，形成诸如函数、不等式、数列、

三角、圆锥曲线、排列组合、概率统计与导数等知识板块，尤其注重对各知识板块进行纵横联系，寻找共同点，发散点，从学科整体意义上建构知识的发散网络。

在这些知识发散点，交汇点设计题目，要体现对高中数学知识的整体把握与交叉综合，力求避免“单元割裂，专题独立”和“只见树木，不见森林”的不良现象。

例1函数f:|1,2,3|?|1,2,3|满足f(f(x))= f(x)，则这样的函数个数共有(D) （浙江2006年理数）

(A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个

【说明】映射与函数的概念是一脉相承的，本题给学生以知识交汇发散的视觉，使相应的的数学语言和表达形式更加灵活多样，结合运用排列组合知识，能体现思维能力和分类讨论的思想，需要有一定的思维填密性。

对于例1的映射与函数的概念，结合新定义的线性变换知识，可命制如下试题：

???例2设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V?V,a?V,记a的象为f(a)。若映射f:V?V满

??????足：对所有a,b?V及任意实数?,?都有f(?a??b)??f(a)??f(b)，则f称为平面M上的线性变换。现有下列命

??题：①设f是平面M上的线性变换，则f(0)?0?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ②对a?V设f(a)?2a，则f是平面M上的线性变换；③若ew.w.w.k.s.5.u.c.o.m ????是平面M上的单位向量，对a?V设f(a)?a?e，则f是平面M上的线性变换；④设f是平面M上的线性变换，

?????????（四川2009年理数）a,b?V，若a,b共线，则f(a),f(b)也共线。其中真命题是①②④（写出所有真命题的序号）

【说明】从学科的内在联系出发，在知识的发散点设计试题是命题方向。本题将新定义的线性变换，

与平面向量和映射的概念结合在一起，既体现了课改精神，又考查了综合运用知识解决问题的能力。题型载体是填空中的多重选择更有利于数学知识的交汇与融合，能考查学生多方面知识的运用水平。

2、一题多解展思路，策略巧妙意境高

在教学与考试中，多设置能用两种，三种甚至更多种解法的题目，能锻炼学生思维的发散性，积累解题经验，学会如何综合运用已有的知识不断提高解题能力。

例3求sin10 sin30 sin50 sin70的值

解法一，积化和差，是化简的重要方法，可先将其中两个积化为和差 原式= sin30??????1?1?1???????? -cos60?cos40?sin70=?sin70?cos40sin70????242???????=?sin70?简

181sin110??sin30?8???1 16解法二，若将原式利用互为余角的余函数，则其角之间依次成为倍角关系，便可连续逆用正弦二倍角公式进行化

1sin160?????1cos80cos40cos20sin20181原式=cos80?cos60?cos40?cos20?? ????2sin202sin2016sin2?解法三，若利用公式变形sin??也可将原式化简求值

2cos?sin20?1sin100?sin140?1cos70?cos10?cos50?1??原式= ??????2cos1022cos502cos7028cos10cos50cos7016【说明】一题多解试题无非两种类型：一是用在数学的不同分支中的不同视觉寻找不同的方法，二是用同一分支中的不同公式，定理突破多种的解题入口，本题正是属于后一类型。在一题多解，策略多样的训练中，让学生的思维“散”在广阔性和深刻性中。

3、变更命题求发散，举一反三应用广

变更命题的条件，结论或形式，而命题的实质不变。通过这种试题形式的编制，能够引导学生不断根据变化了的情况积极思维，归纳概括，多方向地揭示命题本质。这样可提高学生举一反三、触类旁通的能力，这也正是思维的变通性得到培养和发展的具体体现。

例4过抛物线y?2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为y1,y2，求证y1y2??p.

22

对这道题进行发散联想,引申和改造,可以得到综合性强、形式新颖的命题：

变式1：设抛物线y2?2px上两个动点A、B的纵坐标分别为y1,y2，且y1y2??p2，求证直线AB经过焦点； 变式2：设M(a,0)是抛物线y2?2px对称轴上的一个定点，过M的直线交抛物线于A、B两点，其纵坐标分别为y1,y2，求证y1y2为定值；

变式3：设抛物线y2?2px上两个动点A、B分别为，且满足y1y2?n（n （x1,y1),(x2,y2）为常数），问直线AB是否恒过某一定点？

4、信息迁移为探究，深挖广拓激思维

信息迁移发散题已是备受关注的创新题型，此类题目的编制一般是将较为陌生的数学情境展现出来，要求考生在阅读理解的基础上及时捕捉和利用题设中的信息，结合原有所学知识做出判断、推理、类比等发散思维的新题型。近年来，具有高等数学背景的一些数学信息迁移题频频出现，也是进行迁移发散思维训练的一种有效形式。

sinxsinxx2x4x6?0 ?1?????对x?R且x?0恒成立，方程例5已知展开式

xx3!5!7!x2x4x6x2x2x2?????(1?2)(1?22)?(1?22)?, 有无究个根??,?2?,??n?,?,则1?3!5!7!n2?n?111?2.设代数方程1?a1x2?a2x4???(?1)nanx2n?0有2n个比较两边x的系数可以推得1?2?2???2???23n62不同的根：?x1,?x2,??xn，类比上述方法可得a1=标校联考）

111（龙岩市2011年一级达??...?.（用x1,x2,?,xn表示）222x1x2xn【说明】解答本题需要敏锐的观察、猜想和类比逻辑推理能力。思维发散到初中学过的

f(x)?ax2?bx?c?a(x?x1）(x?x2)，问题不难解决。 例6 “点动成线，线动成面，面动成体”。

有一条单位长度的线段AB，沿着与其垂直的y个单位长度，线段扫过的区域形成一个二维方体

ABCD），再把正方形沿着与其所在的平面垂直

如图，x轴上轴方向平移一（正方形

的z轴方向平

移一个单位长度，则正方形扫过的区域形成一个三维方体（正方体ABCD?A。请你设想存在四维空间，将正1BC11D1）方体向第四个维度平移得到四维方体，若一个四维方体有m个顶点，n条棱，p个面，则m,n,p的值分别为 16,32,24 ．（三明市2011年高三质检）

【说明】可以发现：点平移后得到一个新的点，平移的过程形成一条新的棱；线段平移可得到一条新的棱，平移过程可以形成一个新的面；面平移后可以形成一个新的面，平移的过程可形成一个三维体。空间维度在发散，思维也在发散。本题对迁移发散思维的激发，达到必要的深度。

5、构“形”造“数”真功夫，高屋建瓴活解题

构造是一种极富技巧性和创造性的思维，通过构造，可激发学生的发散思维，打破常规，另辟蹊径使问题得到巧妙解决。比如向量具有代数形式和几何直观的双重身份，构造合适向量，可巧妙得给出一些不等式的证明。编制题目如下：

例7：设a,b为不相等的实数，f(x)?1?x2，求证：f(a)?f(b)?a?b

???????分析：构造向量p?(1,a).q?(1,b),a,b为不相等的实数，因此向量p,q不共线，p?q?(0,a?b),根据

??????p?q?p?q，且p,q不共线，所以1?a2?1?b2?a?b，

即f(a)?f(b)?a?b

三、几点思考

数学发散思维题由于思维的多向性，解题的多样性，往往费时间，在目前的教学模式下，要广泛使用此类试题，还存在诸多问题。为此，笔者就实际教学中如何使用数学发散思维题提几点建议：

1、创设情境，选择时机，营造发散思维大课堂

利用发散思维题进行课堂教学的过程是学生主动构建，积极参与的过程。教师在教学中应创设情境，引发思维，实行开放式教学，逐步引导学生探究新的知识和方法。但平时课堂内容多，时间紧，不可能大量使用发散思维题，因此教师要注意时间的合理安排，在适当时候以适当方式渗透发散思维。

2、在练习选编上，改造题目进行发散思维训练

为了让学生在解题时有更广泛的思维空间，尝试改造常规题目，打破模式化，使学生不是依靠简单模式来解题，比如把条件结论完整的题目改造提出条件，先猜结论再进行证明的形式；也可以先给出结论，让学生探求条件；或将题目的条件，结论进行拓广，演变，形成一个发展性问题。如此种种，无疑将促使学生从全新的角度去认识问题，起到启迪、培养发散思维能力的作用。

例如，复习课上给出这么一道题：

在锐角△ABC中，求证：sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC。

?△ABC为锐角三角形?A?B???22,?A?????

?B?0，又?y?sinx在?0,?上是增函数，2?2?

?sinA?cosB。同理：?sinB?cosC,sinC?cosA.故所证不等式成立。

由这道题改造发散成另外一命题：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦之和小于这个三角

形的周长的一半。

用上道题的结论：sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC做条件，只需证明

1abca?b?csinA?sinB?sinC?（a?b?c)即可。显然???2，即，?2sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC1siAn?siBn?siCn?（a?b?c)

23、组织发散性思维训练，要把握学生的认知水平

教师在使用发散思维题，从内容到形式再到方法，都要重视学生的认知水平。在高一，教师的主导作用可以多些，在高二、高三，随着知识增加和能力提高，学生的发散思维也在不断增强，教师可逐步放手让学生自己去发现和解决问题，并且坚持下去。教师在教学过程要起积极引导作用，引导学生对发散思维题的条件和答案作出深层次的比较和评价，试着发现条件、答案间的逻辑关系，对各种解答的正确性作出判断并给出必要的论证，进行必要的修改或推广，以及深刻领会题目的内涵与外延。

结语

发散思维题已为广大教师和命题者所重视，随着新课改的进一步推进，数学发散思维题会越来越丰富。有科学家总结：创造力=知识量+发散思维力。由此可见发散思维能力的重要性。数学发散思维题的编制与在教学中的广泛应用，必定对未来的创新人才培养产生广泛深远的影响。

参考文献

[1]王辉.探求理想的教学[M].北京：中国言实出版社，2008. [2]熊斌.解题高手[M].上海：华东师范大学出版社，2006. [3]希扬.发散思维大课堂[M].龙门书局,2006.