江苏省南京师范大学附属中学 2019届高三 5 月模拟
数学试题
2019．5
一、填空题 （本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上．）
1．已知集合 A ＝ x x 答案： {0 ，1} 考点：集合的运算 解析：∵ A＝ x x
1，x Z ，B＝ x 0 x 2
，则 A B＝ ．
1，x Z
∴A＝{﹣1，0，1} ∵B＝ x 0 ∴A 为 答案：﹣ 3 考点：复数的运算
解析： z＝(1＋2i)( a＋i) ＝a﹣2＋(2a＋1)i
由 z 的实部与虛部相等得： a﹣2＝2a＋1，解得 a 的值为﹣ 3．
3．某班有学生 52 人，现将所有学生随机编号， 用系统抽样方法， 抽取一个容量为 4 的样本，
已知 5 号、 31 号、44 号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是 答案： 18
考点：系统抽样方法
解析： 根据系统抽样的定义和方法， 所抽取的 4 个个体的编号成等差数列， 已知其中三个个
体的编号为 5，31，44，故还有一个抽取的个体的编号为 未抽得特等奖的概率是 答案：
1
．
18．
1 张奖券，两人都
4．3 张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，甲、乙两人同时各抽取
．
x 2
B＝{0 ，1}
a 的值
．
2．已知复数 z＝(1＋2i)( a＋i) ，其中 i 是虚数单位．若 z 的实部与虛部相等，则实数
3
2
考点：古典概型
解析：甲、乙两人同时各抽取 1 张奖券共有 6 种不同的情况，其中两人都未抽得特等奖有 2 1
种情况，所以 P＝ ＝ ．
6 3
5．函数
f (x) x log2(1 x) 的定义域为
．
答案： [0，1) 考点：函数的定义域
1
解析：由题意得：
x
，解得 0≤ x＜1，所以函数的定义域为 [0，1)．
1 x 0
k 的值为
．
0
6．下图是一个算法流程图，则输 的出
答案： 3 考点：算法初步
解析： n 取值由 13→6→3→1，与之对应的 k 为 0→1→2→3，所以当 n 取 1 时， k 是 3． 7．若正三棱柱 ABC — A1B1C1 的所有棱长均为 2，点 P 为侧棱 AA 1 上任意一点，则四棱锥
— BCC1B1 的体积为 ．
P
答案：
4 3 3
考点：棱锥的体积
解析：由于 AA 1∥平面 BCC1B1，所以点 P 到平面 BCC1B1 的距离就是点 A1 到平面 BCC1B1
的距离为 3 ，所以 V P
—
BCC1B1 ＝
1
—
2 3 2
4 3 ． ＝ 3 3
BCC1B1
＝
8．在平面直角坐标系xOy 中，点 P 在曲线C：
3
y x
10 3
x 上，且在第四象限内．已知
．
曲线C 在点 P 处的切为线 答案：﹣13
y 2x b，则实数 b 的值为
2
考点：函数的切线 解析：∵
3
y x
∴ y
2
10 3 x
3x 10
∵曲线 C 在点 P 处的切线为y 2x b
2 ∴ 3x
10 2
∵P 在第四象限 ∴x＝2，求得 y＝﹣9 ∴b＝﹣9﹣2×2＝﹣13 9．已知函数 f (x)
3 sin(2 x ) cos(2 x ) (0＜ ＜ )是定义在 R 上的奇函数，则
f (
答案：
)的值为． 8
2
考点：三角函数的图像与性质
解析：
f (x) 3 sin(2x ) cos(2x )=2sin(2 x ) 6
∵ f (x) 是定义在 R 上的奇函数
∴
k ， k Z，由 0＜ ＜ 求得
6
2sin 2x，则f (
2
6
∴ f (x)
) 2sin(
8
) 4
2
1
，2]上单
10．如果函数
f (x) (m 2)x 2(n 8)x 1(m，n R 且 m≥ 2，n≥ 0)在区间[
2
调递减，那么mn 的最大值为． 答案： 18
考点：二次函数的性质
n＜ 8， 1 ， 2]上单调递减，则
解析：当 m＝2 时，
f (x) 2(n 8)x 1，要使 f (x) 在区间[
2
此时 mn＝2n 无最大值，不符题意，舍去
2
当 m＞2 时，
f (x) (m 2) x 2(n 8) x 1是开口向上的抛物线，对称轴为 x＝
8
8 n
[
m 2 ，要使 f (x) 在区间
以 mn≤ m(12﹣2m)＝2m(6﹣m)≤ 最大值为18．
2
1
，2]上单调递减，则2≤ 2
n ，即 0≤ n≤ 12﹣2m，所
m 2
2 6 ＝18，当且仅当 m＝3 取“＝”，所以 mn 的 2 ( )
2 2
x
11．已知椭圆
2
2 1 x
y 与双曲线 2
a
2
y
2
(a＞0，b＞0)有相同的焦点，其左、右焦点 1
3
b
分别为 F1、 F2，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为 离心率为
．
P，且 F1P＝F1F2，则双曲线的
答案：
2+2 2
考点：圆锥曲线的定质 性、义
解析：由题意得： F1P＝F1F2＝2，则 PF2＝ 2 2 2，所以 2a＝2﹣( 2 2 2)＝4﹣2 2 ，
c
2+2 1 ＝ ．
2 2 2
则 a＝2﹣2 ，所以 e＝
a
12．在平面直角坐标系xOy 中，点 A 的坐标为 (0，5)，点 B 是直线 l：
1
x上位于第2
y
一
象限内的一点，已知以 为 答案： (6，3) 考点：直线与圆
．
AB 为直径的圆被直线
l 所截得的弦长为 2 5 ，则点 B 的坐标
1
解析：设点 B(
x ， x0 )，则 AB
0
1
2
2
x
0
( x
0
5) ，求得点 A 到直线 l 的距离为 2 5 ，
2
2
2
1
2
又因为弦长为 2 5 ，所以 AB ＝ 2 10 ，由
x0
2
4x0
x
0
( x
0
5) ＝ 2 10 求得
2
12 0 ，因为点 B 位于第一象限，所以
3)．
x0 ＝6（负值已舍去），故点 B 的坐标为 (6，
13．已知数列
an 的前 n 项和为 Sn ，a1 1，a2 2 ，
a
n
2
a
n
， n k k
2， 2 1， N
2a
n 2k k N ， ，
n
则满足2019≤
S ≤ 3000 的正整数 m 的所有取值为
m
．
答案： 20，21
考点：等差数列、等比数列前
解析：当 m 为奇数时，
n 项和
m 1
m 1
(1 m) 2 S
m
2(2
2
1) m 1
m 1
2
2
(
2
2 1
2
2019 ， 2019 S21 3000 ， S23
2
m 1 2
) 2 2，显然Sm 是
单调递增的，又 S19
3000 ，所以 m 取 21 符合
题意；当 m 为偶数时，
m
2
2 ，又 S18
2019 ， 2019 S20
3000 ，
m
S
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