第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和
1.等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 2.等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d. 3.等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项.
4.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列.
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，?(k，m∈N)是公差为md的等差数列. (6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，?构成等差数列. 5.等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝6.等差数列的前n项和公式与函数的关系
*
*
*
n?a1＋an?
2
或Sn＝na1＋n?n－1?
d.
2
d?d?Sn＝n2＋?a1－?n.
2
?2?
数列{an}是等差数列?Sn＝An＋Bn(A，B为常数). 7.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.
【知识拓展】
1
2
等差数列的四种判断方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)?{an}是等差数列. (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N)?{an}是等差数列. (3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)?{an}是等差数列. (4)前n项和公式：Sn＝An＋Bn(A，B为常数)?{an}是等差数列.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.
( × )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ )
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × ) (4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.( √ )
2
*
1.(教材改编)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝3，S9－S6＝27，则该数列的首项a1＝ . 3答案 5
??a1＋2d＝3，
解析 由?
?9a1＋36d－?6a1＋15d?＝27，??a1＋2d＝3，?
得?
??a1＋7d＝9，
3
解得a1＝. 5
85
2.(教材改编)已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，则这五个数的积为 .
935
答案 －
81
解析 设第三个数为a，公差为d，则这五个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d， 由已知条件得
?a－2d?＋?a－d?＋a＋?a＋d?＋?a＋2d?＝5，???8522222?a－2d?＋?a－d?＋a＋?a＋d?＋?a＋2d?＝，?9?
2
a＝1，??解得?2
d＝±.?3?
11577511所求5个数分别为－，，1，，或，，1，，－. 3333333335
故它们的积为－. 81
3.(2016·全国乙卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝ . 答案 98
9?a1＋a9?9×2a5
解析 由等差数列性质，知S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公
22差d＝
a10－a5
10－5
＝1，
∴a100＝a10＋90d＝98.
4.设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋?＋a7＝ . 答案 28
解析 ∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4， ∴a1＋a2＋?＋a7＝7a4＝28.
5.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝ 时，{an}的前n项和最大. 答案 8
解析 因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故当n＝8时，其前n项和最大.
题型一 等差数列基本量的运算
例1 (1)(2016·北京)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝ .
(2)(2016·徐州、宿迁模拟)已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则的值为 . 17
答案 (1)6 (2)
9
解析 (1)∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.
S5S3a5a3
3
又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2. 6×?6－1?
∴S6＝6×6＋×(－2)＝6.
2(2)设等差数列{an}的首项为a1，则由＝3 得
5a1＋10d＝3，所以d＝4a1，
3a1＋3dS5S3
所以＝a5a1＋4d17a117
＝＝.
a3a1＋2d9a19
思维升华 等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.
(2016·江苏)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1＋a2＝－3，S5＝10，
则a9的值是 . 答案 20
解析 设等差数列{an}的公差为d，
2
a1＋?a1＋d?＝－3，??则由题设可得?5×4
5ad＝10，1＋?2?
??d＝3，
解得?
?a1＝－4，?
2
从而a9＝a1＋8d＝20.
题型二 等差数列的判定与证明
311**
例2 已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N)，数列{bn}满足bn＝(n∈N).
5an－1an－1(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由. (1)证明 因为an＝2－
*
bn＝(n∈N)，
an－1
1
an－1
(n≥2，n∈N)，
*
1
4
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