课下层级训练(三十三) 数列求和
[A级 基础强化训练]
1．(2019·山东威海检测)数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n＋3n＋2，则{bn}的前10项和为( ) 1
A． 43
C． 4
1
【答案】B [bn＝＝
5
B． 127D． 12
2
an1
＝
n＋3n＋2
2
1
n＋1n＋2
＝
11111111－，前10项和为－＋－＋…＋－＝n＋1n＋223341112
115
－＝.] 21212
11111
2．(2019·广东广州调研)数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋n，…的前n项和Sn的值等于( )
24816212
A．n＋1－n
212
C．n＋1－n－1
2
12
B．2n－n＋1－n
212
D．n－n＋1－n
2
1
【答案】A [该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋n，
2
1?1?112
则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋?＋2＋…＋n?＝n＋1－n.]
2?2?22
?2an，n为正奇数，?
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝?
??an＋1，n为正偶数，
则其前6项之和是( )
A．16 C．33
B．20 D．120
【答案】C [由已知得a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.]
?1?1
4．(2019·山东临沂期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9＝a12＋6，a2＝4，则数列??的前20项
2?Sn?
的和为( ) 19
A． 2021C． 22
20B． 2122D． 23
1
【答案】B [由a9＝a12＋6及等差数列通项公式得a1＋5d＝12，又a2＝4＝a1＋d，∴a1＝2＝d，∴Sn＝2n＋
2
nn－1
2
12
×2＝n＋n，∴ ＝
Snn?1?11111111
＝－，∴数列??的前20项的和为1－＋－＋－＋…＋n＋1nn＋122334?Sn?
1
11120－＝1－＝.] 20212121
1??1??11??11
5．(2019·山东枣庄检测)1＋?1＋?＋?1＋＋?＋…＋?1＋＋＋…＋10?的值为( )
2??2??24??241
A．18＋9 21
C．22＋11
2
1
B．20＋10
21
D．18＋10
2
??1?n?1×?1－???
111??2????1?n?
【答案】B [设an＝1＋＋＋…＋n－1＝＝2?1－???.
2421??2??
1－2
则原式＝a1＋a2＋…＋a11
??1?1???1?2???1?11?＝2?1－???＋2?1－???＋…＋2?1－??? ??2????2????2??
111????＋＋…＋＝2?11－?211??
2????221??×?1－???1
2?2?
＝2?11－
1?1－
2??
111???1?1??＝2?11－?1－11??＝2?11－1＋11?＝20＋10.]
2?2??2???
6．(2019·山东邹城月考)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝－1，公和为1，那么这个数列的前2 020项和S2 020＝________.
【答案】1 010 [根据题意，得an＋an＋1＝1，n∈N且a1＝－1， 所以a1＋a2＝－1＋a2＝1，即a2＝2，a3＝－1，a4＝2，…， 所以数列的周期T＝2，
2 020
所以S2 020＝(－1＋2)＋(－1＋2)＋…＋(－1＋2)＝＝1 010.]
2
1
7．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则? ＝________.
k＝1n*
Sk【答案】
2n [设等差数列{an}的公差为d，则 n＋1
a3＝a1＋2d＝3，??由?4×3
Sd＝10，4＝4a1＋?2?
??a1＝1，
得?
?d＝1.?
2
∴Sn＝n×1＋1＝
nnn－1
2
×1＝
nn＋1
2
，
Snn1?2?1
＝2?－?. n＋1?nn＋1?
11111
∴? ＝＋＋＋…＋
k＝1
SkS1S2S3Sn11??11111
＝2?1－＋－＋－＋…＋－
nn＋1??22334?＝2?1－
?
?
1?2n＝.] n＋1??n＋1
n?2＋1?
8．已知Tn为数列?n?的前n项和，若m>T10＋1 013恒成立，则整数m的最小值为________.
?2?
2＋11?1?n【答案】1 024 [∵n＝1＋??，∴Tn＝n＋1－n，
22?2?11
∴T10＋1 013＝11－10＋1 013＝1 024－10，
22又m>T10＋1 013，∴整数m的最小值为1 024.]
9．(2019·山东莱芜检测)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，首项a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】解 (1)设数列{an}的公差为d，由已知得，a2＝a1a4，即(1＋d)＝1＋3d，解得d＝0或d＝1. 又d≠0，∴d＝1，可得an＝n. (2)由(1)得bn＝n＋2，
∴Tn＝(1＋2)＋(2＋2)＋(3＋2)＋…＋(n＋2) ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋2＋2＋…＋2) ＝
2
3
1
2
3
2
2
nnnnnn＋1
2
＋2
n＋1
－2.
10．(2019·山东淄博检测)已知等差数列{an}的公差为2，且a1－1，a2－1，a4－1成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝
2*
(n∈N)，Sn是数列{bn}的前n项和，求使Sn＜成立的最大正整数n. anan＋115
2
1
【答案】解 (1)由题意知，(a2－1)＝(a1－1)(a4－1)， 即(a1＋1)＝(a1－1)(a1＋5)， 解得a1＝3，故an＝2n＋1，n∈N. (2)由bn＝
1
2n＋1
2n＋3
*
2
3
1?1?1－＝??，
2?2n＋12n＋3?得Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
11?1?1111
－＝?－＋－＋…＋ 2n＋12n＋3?2?3557?1?1?1
＝?－?＝2?32n＋3?3由
n，
2n＋3
n2
＜，解得n＜6.
32n＋315
故所求的最大正整数n为5.
[B级 能力提升训练]
11．已知{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，且b1＝a1＝1，b3＝a4，b1＋b2＋b3＝a3＋a4. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.
【答案】解 (1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q， 依b1＝a1＝1，b3＝a4，b1＋b2＋b3＝a3＋a4.
??1＋3d＝q，得?2
?1＋q＋q＝2＋5d?
2
解得d＝1，q＝2，
n－1
所以an＝1＋(n－1)＝n，bn＝1×2(2)由(1)知，cn＝anbn＝n·2
0
1
2
＝2
n－1
.
n－1
，
n－1
则Tn＝1·2＋2·2＋3·2＋…＋n·22Tn＝1·2＋2·2＋…＋(n－1)·2
0
1
1
2
①
nn－1
＋n·2 ②
n－1
①－②得－Tn＝1·2＋1·2＋1·2＋…＋1·21·1－2＝
1－2
n2
－n·2
n－n·2＝(1－n)·2－1.
nnn所以Tn＝(n－1)·2＋1.
12．(2019·河北承德检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若d，S9为函数f(x)＝(x－2)(x－99)的两个零点且d 1 an＋1＋an(n∈N)，求数列{bn}的前n项和Tn. * 【答案】解 (1)因为d，S9为函数f(x)＝(x－2)(x－99)的两个零点且d nn－19×8 Sn＝na1＋d，所以9a1＋×2＝99，解得a1＝3， 2 2 {an}是首项为3，公差为2的等差数列． 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1. 4
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