专题五 解析几何
高考解答题专讲(五) 圆锥曲线的综合应用
一、圆锥曲线中的范围、最值问题
解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解．
(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系； (3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
[思维流程]
定义法
(1)EB∥AC―→|EB|＝|ED|―→|EA|＋|EB|＝4――→点E的轨迹方程 (2)
设直线l方根与系数利用函数知
―→―→求|MN|―→求|PQ|―→面积S用k表示―→
程并联立的关系识求范围
[解] (1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC. 所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)＋y＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.
xy
由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
43(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． y＝－??22由?xy
＋＝1??43
，
2
2
2
2
得(4k＋3)x－8kx＋4k－12＝0，
2222
8k4k－12
则x1＋x2＝2，x1x2＝2，
4k＋34k＋3所以|MN|＝1＋k|x1－x2|＝
222
＋
4k＋3
2
2
.
2
12
过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，A到m的距离为2，所以|PQ|＝2
kk＋14
4k＋3
. 2k＋1
1
故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|
2＝12 1＋1
. 4k＋3
2
2
4－?
?2?2
?＝2
?k＋1?
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,83)．
当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12. 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83)．
解圆锥曲线范围、最值问题的要点
求解范围或最值问题的关键是建立关于求解某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．
[对点训练]
22
xy?3?1．(2017·安徽皖西南十校期末联考)已知右焦点为F2(c,0)的椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)过点?1，?，且椭ab?2?
圆C关于直线x＝c对称的图形过坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
?1?(2)过点?，0?作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA
?2?
的斜率k的取值范围．
19?3?[解] (1)∵椭圆C过点?1，?，∴2＋2＝1，① a4b?2?∵椭圆C关于直线x＝c对称的图形过坐标原点，∴a＝2c， 322222
∵a＝b＋c，∴b＝a，②
4由①②得a＝4，b＝3， xy
∴椭圆C的方程为＋＝1.
43
1?1?(2)依题意，直线l过点?，0?且斜率不为零，故可设其方程为x＝my＋. 2?2?
2
2
2
2
??
由方程组?xy
??4＋3＝12
2
2
1x＝my＋，
2
消去x，并整理得4(3m＋4)y＋12my－45＝0.
22
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0) ∴y1＋y2＝－∴y0＝
3m
， 2
3m＋4
3m2＋
，
y1＋y2
＝－2
12y0m
∴x0＝my0＋＝2，∴k＝＝2.
23m＋4x0－24m＋4①当m＝0时，k＝0 1
②当m≠0时，k＝，
44m＋
m4
∵4m＋≥8，∴0<
m1
∴0 8 11 ∴－≤k≤且k≠0. 88综合①、②可知， 1 ≤. 484m＋ m1 ?11?直线MA的斜率k的取值范围是?－，?. ?88? 二、圆锥曲线中的定点、定值问题 1．定点问题的求解策略 解决动直线恒过定点问题的一般思路是设出直线y＝kx＋m(k存在的情形)．然后利用条件建立k与m的关系．借助于点斜式方程思想确定定点坐标． 2．定值问题的求解策略 定值的证明与探索一般是先利用特殊情形确定定值，再给出一般化的证明或直接推证得出与参数无关的数值．在这类试题中选择消元的方法是非常关键的． [思维流程] 椭圆的性质 (1)P3、P4关于y轴对称 ――→ P3、P4∈C 点与椭圆位置关系 ――→ P2∈C 待定系数法――→ 求C方程 根与系数的关系 ――→ (2) 设直线l：y＝kx＋m 并与C方程联立 Δ、x1＋x2、x1·x2―→k1＋k2＝－1―→k、m的等量关系式―→直线l方程
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