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第一章 集合与常用逻辑用语
第一节 集合
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求 1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用列举法或描述法表示集合； 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义； 3.理解并会求并集、交集、补集；能用(韦恩)图表达集合的关系与运算。
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真题举例 2016，全国卷Ⅰ，1,5分(集合的交集) 合的并集) 合的交集) 合的交集) 合的交集) 命题角度 主要考查具定集合中元算，偶尔涉及系及新定义2016，全国卷Ⅱ，2,5分(集体集合(能确2015，全国卷Ⅱ，1,5分(集素)的基本运2014，全国卷Ⅰ，1,5分(集集合间的关2014，全国卷Ⅱ，1,5分(集问题。 高三文科数学第一轮复习资料 微知识 小题练
自|主|排|查
1．集合的含义与表示方法
(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。
(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为?。 (3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。
(4)常用数集的记号：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。
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2．集合间的基本关系
表示 关系 子集 基本关系 相等 空集 真子集 文字语言 集合A中的元素都是集合B中的元素 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 集合A，B的元素完全相同 符号语言 记法 A?B 或B?A x∈A?x∈B A?B，且?AB或 x0∈B，x0?A BA A?B，B?A A＝B ? 不含任何元素的集合。空集是?x，x??，?任何集合A的子集 ?A 3.集合的基本运算
表示 运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 3 / 1440
高三文科数学第一轮复习资料 属于集合A交集 且属于集合{∈A，且B的元素组成的集合 属于集合A并集 或属于集合{∈A，或B的元素组成的集合 全集U中不补集 属于集合A{∈U，x?的元素组成的集合 微点提醒
1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件。
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x∈B} A∩B x∈B} A∪B ? A} 高三文科数学第一轮复习资料
2．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身。 3．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心。
4．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性\\”而导致解题错误。
5．记住以下结论
(1)若集合A中有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1。
(2)A∪B＝A?B?A；A∩B＝A?A?B。
小|题|快|练
一 、走进教材
1．(必修1P12B组T4改编)满足{0,1}?A{0,1,2,3}的集合A的个数为( )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】 由题意得A可为{0,1}，{0,1,2}，{0,1,3}。故选C。
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【答案】 C
2．(必修1P12B组T1改编)已知集合A＝{0,1,2}，集合B满足A∪B＝{0,1,2}，则集合B有个。
【解析】 由题意知B?A，则集合B有8个。 【答案】 8 二、双基查验
1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝( ) A．{－1,0,1} C．{－1,0,2}
B．{－1,0,1,2} D．{0,1}
【解析】 M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}。故选B。
【答案】 B
2．设集合M＝{≥0，x∈R}，N＝{2<1，x∈R}，则M∩N＝( ) A．[0,1]
B．[0,1)
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C．(0,1] D．(0,1)
【解析】 ∵x2<1，∴－1 ∴M∩N＝{0≤x<1}。故选B。 【答案】 B 3．设全集U＝{x∈≥2}，集合A＝{x∈2≥5}，则?＝( ) A．? C．{5} B．{2} D．{2,5} 【解析】 由题意知U＝{x∈≥2}，A＝{x∈≥}，所以?＝{x∈2≤x＜}＝{2}。故选B。 【答案】 B 4．已知集合A＝{3≤x<7}，B＝{2 7 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 ∴?R(A∪B)＝{≤2或x≥10}。 【答案】 {≤2或x≥10} 5．已知集合A＝{(x，y)，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为。 【解析】 集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素。 【答案】 2 微考点 大课堂 考点一 集合的基本概念 【典例1】 (1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－∈A，y∈A}中元素的个数是( ) 8 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 A．1 C．5 B．3 D．9 (2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为． 【解析】 (1)当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1； 当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1； 当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1； 当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1； 当x＝2，y＝2时，x－y＝0。根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个。故选C。 (2)由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m 9 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 ＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－。 【答案】 (1)C (2)－ 反思归纳 用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合。 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意。分类讨论的思想方法常用于解决集合问题。 【变式训练】 (1)已知集合A＝{2－2x＋a>0}，且1?A，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，0] C．[1，＋∞) B．(－∞，1] D．[0，＋∞) (2)已知集合A＝{x2＋x,4x}，若0∈A，则x＝。 【解析】 (1)若1∈A，则1－2＋a>0，解得a>1。因为1?A，所以a≤1。故选B。 10 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 (2)由题意，得错误!或错误! 解得x＝－1。 【答案】 (1)B (2)－1 考点二 集合的基本关系…………母题发展 【典例2】 (1)已知集合A＝{2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为( ) A．7 C．15 B．8 D．16 (2)(2017·襄阳模拟)已知集合A＝{－2≤x≤7}，B＝{＋1 【解析】 (1)A＝{－1≤x≤3，x∈N*}＝{1,2,3}，其真子集有：?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个。 或因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)。 11 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 故选A。 (2)当B＝?时，满足B?A，此时有m＋1≥2m－1，即m≤2， 当B≠?时，要使B?A，则有 错误! 解得2 综上可得m≤4。 【答案】 (1)A (2)(－∞，4] 【母题变式】 本典例(2)中，是否存在实数m，使A?B？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由。 【解析】 由A?B，得错误!即错误! 不等式组无解，故不存在实数m，使A?B。 【答案】 不存在，理由见解析 反思归纳 根据集合的关系求参数的关键点及注意点 1.根据两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间 12 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、图帮助分析，而且常要对参数进行讨论。 2.注意点：注意区间端点的取舍。 提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况。 【拓展变式】 (1)(2016·辽宁师大附中测试)已知集合A＝{0,1}，B＝{?A}，则下列集合A与B的关系中正确的是( ) A．A?B C．BA B．AB D．A∈B (2)(2016·银川二中考试)已知集合A＝{＝(x－x2)}，B＝{2－<0，c>0}，若A?B，则实数c的取值范围是( ) A．(0,1] C．(0,1) B．[1，＋∞) D．(1，＋∞) 【解析】 (1)因为x?A，所以B＝{?，{0}，{1}，{0,1}}，则集合A＝{0,1}是集合B中的元素，所以A∈B。故选D。 13 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 (2)解法一：由题意知，A＝{＝(x－x2)}＝{－x2>0}＝(0,1)，B＝{2－<0，c>0}＝(0，c)。 由A?B，画出数轴，如图所示，得c≥1。故选B。 解法二：因为A＝{＝(x－x2)}＝{－x2>0}＝(0,1)，取c＝1，则B＝(0,1)，所以A?B成立，可排除C，D；取c＝2，则B＝(0,2)，所以A?B成立，可排除A。故选B。 【答案】 (1)D (2)B 考点三 集合的运算…………多维探究 角度一：两个集合的交集、并集、补集运算 【典例3】 (1)(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( ) A．{1} C．{0,1,2,3} B．{1,2} D．{－1,0,1,2,3} 14 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 (2)(2016·天津高考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝( ) A．{1} C．{1,3} B．{4} D．{1,4} (3)设全集U＝R，集合A＝{x≥2}，B＝{＝(x2＋1)}，则(?)∩B＝( ) A．{≤－1或x≥0} B．{(x，y)≤－1，y≥0} C．{≥0} D．{＞－1} 【解析】 (1)由已知可得B＝{(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{－1 (2)由题意得，B＝{1,4,7,10}，所以A∩B＝{1,4}。故选D。 (3)∵全集U＝R， 集合A＝错误!＝{≤－1}， 15 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 ∴?＝{＞－1}， ∵B＝{＝(x2＋1)}＝{≥0}， ∴(?)∩B＝{≥0}。故选C。 【答案】 (1)C (2)D (3)C 角度二：根据集合运算结果求参数 【典例4】 (1)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( ) A．0或 C．1或 B．0或3 D．1或3 (2)集合M＝{－1≤x<2}，N＝{ A．－1≤a<2 C．a≥－1 B．a≤2 D．a>－1 【解析】 (1)由A∪B＝A得B?A，有m∈A，所以有m＝或m＝3， 16 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 即m＝3或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互异性知m≠1。故选B。 (2)∵M＝{－1≤x<2}，N＝{ 【答案】 (1)B (2)D 角度三：抽象的集合运算 【典例5】 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A?C，B??”是“A∩B＝?”的( ) A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 【解析】 由图可知，若“存在集合C，使得A?C，B??”，则一 17 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 定有“A∩B＝?”；反过来，若“A∩B＝?”，则一定能找到集合C，使A?C且B??。故选C。 【答案】 C 反思归纳 集合的基本运算的关注点 1.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提。 2.有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决。 3.注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图。 18 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 4.根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解。 微考场 新提升 1．(2016·四川高考)设集合A＝{－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( ) A．3 C．5 B．4 D．6 解析 由集合A＝{－2≤x≤2}，易知A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}。故选C。 答案 C 2．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{2－4x＋3<0}，B＝{2x－3>0}，则A∩B＝( ) 19 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 解析 由题意得，A＝{1 3.设全集U是自然数集N，集合A＝{2>4，x∈N}，B＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( ) A．{>2，x∈N} C．{0,2} B．{≤2，x∈N} D．{1,2} 解析 由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩(?)，?＝{2≤4，x∈N}＝{－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，∵B＝{0,2,3}，∴B∩(?)＝{0,2}。故选C。 答案 C 20 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 4．(2016·辽宁五校联考)已知集合M，N，P为全集U的子集，且满足M?P?N，则下列结论不正确的是( ) A．??? C．(?)∩M＝? B．??? D．(?)∩N＝? 解析 根据已知条件画出韦恩图结合各选项知，只有D不正确。故选D。 答案 D 5．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”。对于集合M＝{2－1＝0，a>0}，N＝{－，，1}，若M与N“相交”，则a＝。 解析 M＝，由＝，得a＝4；由＝1，得a＝1。 当a＝4时，M＝{－，}，此时M?N，不合题意；当a＝1时，M＝{－1,1}，满足题意。 21 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 答案 1 微专题 巧突破 集合中新情境型问题 与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题，这类试题的特点是：通过给出的新的数学概念或新的运算法则，在新的情境下完成某种推理证明，或在新的运算法则下进行运算。常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型。解决此类题的关键是理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则等的含义，然后分析题目中的条件，设法进行套用。 1．定义新概念、新公式 【典例1】 设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1?A且k＋1?A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有个。 22 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 【解析】 符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个。 【答案】 6 【变式训练1】 若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝{－1,0，，2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A．1 C．7 B．3 D．31 【解析】 具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，。故选B。 【答案】 B 2．定义新运算、新法则 【典例2】 设A，B是有限集，定义d(A，B)＝(A∪B)－(A∩B)，其中(A)表示有限集A中的元素个数。 命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必 23 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 要条件； 命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)， A．命题①和命题②都成立 B．命题①和命题②都不成立 C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立 【解析】 命题①显然正确，通过如图韦恩图亦可知d(A，C)表示的区域不大于d(A，B)＋d(B，C)的区域，故命题②也正确，故选A。 【答案】 A 【变式训练2】 定义集合的差集运算为A－B＝{∈A且x?B}，若A＝{＝－1|－＋1|，x∈R}，B＝{＝－，x∈R}，则A－B＝。 【解析】 先求出集合A，B，再利用差集的定义求A－B。 依题意知，y＝－1|－＋1|＝错误! 24 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 可知－2≤y≤2，所以A＝[－2,2]。易知y＝－＝在(1，＋∞)上单调递减，则0<－≤，即0 于是A－B＝[－2,0]∪(，2]。 【答案】 [－2,0]∪(，2] 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 ☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆ 考纲要求 真题举例 命题角度 25 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 1.理解命题的概念； 2016，北京卷，1.分析四种命题的2.了解“若p，则q”4,5分(充要条件相互关系；由原命题形式的命题的逆命的判断) 写另一种命题； 题、否命题与逆否命2016，天津卷，2.判定指定条件之题，会分析四种命题5,5分(充要条件间的关系；探求某结的相互关系； 的判断) 论成立的充要条件、3.理解充分条件、必2014，全国卷Ⅰ，充分不必要条件或要条件与充要条件9,5分(逻辑推理必要不充分条件；与的含义。 判断) 命题真假性结合。 26 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 微知识 小题练 自|主|排|查 1．命题 (1)命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其 (2)四种命题及相互关系 27 / 1440 中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。高三文科数学第一轮复习资料 (3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。 2．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 28 / 1440 p?q且 且q?p p?q 且 高三文科数学第一轮复习资料 微点提醒 1．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，命题的否定只否定结论。 2．由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假。 3．“p是q的充分不必要条件”即为“p?q且”；“p的充分不必要条件是q”即为“q?p且”。 小|题|快|练 一 、走进教材 1．(选修1－1P10练习T3(2)改编)“(x＋1)(y－2)＝0”是“x＝－1且y＝2”的条件。 【解析】 因为(x＋1)(y－2)＝0， 所以x＝－1或y＝2， 所以(x＋1)(y－2)＝0x＝－1且y＝2， 29 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 x＝－1且y＝2?(x＋1)(y－2)＝0， 所以是必要不充分条件。 【答案】 必要不充分 2．(选修1－1P8习题1.1A组T2(1)改编)“若a，b都是偶数，则必是偶数“的逆否命题为。 【解析】 “a，b都是偶数”的否定为“a，b不都是偶数”，“是偶数”的否定为“不是偶数”，故其逆否命题为“若不是偶数，则a，b不都是偶数”。 【答案】 若不是偶数，则a，b不都是偶数 二、双基查验 1．(2016·天津高考)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>”的( ) A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 30 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 【解析】 由x>y推不出x>，由x>能推出x>y，所以“x>y”是“x>”的必要而不充分条件。故选C。 【答案】 C 2．命题“若α＝，则α＝1”的逆否命题是( ) A．若α≠，则α≠1 C．若α≠1，则α≠ B．若α＝，则α≠1 D．若α≠1，则α＝ 【解析】 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，则α＝1”的逆否命题是“若α≠1，则α≠”。故选C。 【答案】 C 3．设集合A，B，则“A?B”是“A∩B＝A”成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 31 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 由A?B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)?B，得A?B，因此，“A?B”是“A∩B＝A”成立的充要条件。故选C。 【答案】 C 4．“在△中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：。 【解析】 原命题的条件：在△中，∠C＝90°。 结论：∠A，∠B都是锐角。否命题是否定条件和结论。 即“在△中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”。 【答案】 在△中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角 5．若“x2>1”是“x {>1或x<－1}，结合数轴可知，a≤－1，从而a的 32 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 最大值为－1。 【答案】 －1 微考点 大课堂 考点一 四种命题及其相互关系 【典例1】 (1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( ) A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数 B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数 C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数 D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数 (2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则1|＝2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A．真，假，真 B．假，假，真 33 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 C．真，真，假 D．假，假，假 【解析】 (1)由于“x，y都是偶数”的否定是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”。故选C。 (2)先证原命题为真：当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋(a，b∈R)，则z2＝a－，则1|＝2|＝，∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z1＝1，z2＝i，满足1|＝2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假。故选B。 【答案】 (1)C (2)B 反思归纳 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意： (1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； (2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提。 34 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例。 3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假。 【变式训练】 (1)命题“若α＝，则α＝”的逆命题是( ) A．若α＝，则α≠ B．若α≠，则α≠ C．若α＝，则α＝ D．若α≠，则α≠ (2)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3。关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( ) ①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题； ②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题； 35 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 ③命题β是命题α的否命题，且命题γ 是命题α的逆否命题。 A．①③ C．②③ B．② D．①②③ 【解析】 (1)命题“若α＝，则α＝”的逆命题是“若α＝，则α＝”。故选C。 (2)命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①正确，②错误，③正确。故选A。 【答案】 (1)C (2)A 考点二 充分条件与必要条件的判断……多维探究 角度一：用定义法判断充分条件、必要条件 【典例2】 (2016·北京高考)设a，b是向量，则“＝”是“＋＝－” 36 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 的( ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 取a＝－b≠0，则＝≠0，＋＝|0|＝0，－＝|2≠0，所以＋≠－，故由＝推不出＋＝－。由＋＝－，得＋2＝－2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出＝，故由＋＝－推不出＝。故“＝”是“＋＝－”的既不充分也不必要条件。故选D。 【答案】 D 角度二：用集合法判断充分条件、必要条件 【典例3】 设p：1 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 {>0}可知：由p能推出q， 【解析】 由2x>20?x>0，且{1 37 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 但由q不能得出p，所以p是q成立的充分不必要条件。故选A。 【答案】 A 角度三：用等价转化法判断充分条件、必要条件 【典例4】 (2017·锦州模拟)给定两个命题p，q。若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 因为綈p是q的必要不充分条件，则q?綈p但綈，其逆否命题为p?綈q但綈，所以p是綈q的充分不必要条件。故选A。 【答案】 A 反思归纳 充要条件的三种判断方法 1.定义法：根据p p进行判断。 2.集合法：根据成立对应的集合之间的包含关系进行判断。 3.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题， 38 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 如“≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“1且1”是“1”的何种条件。 考点三 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围……母题发散 【典例5】 (1)(2016·南昌模拟)已知条件p：－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( ) A．[21，＋∞) C．[19，＋∞) B．[9，＋∞) D．(0，＋∞) (2)已知P＝{2－8x－20≤0}，非空集合S＝{1－m≤x≤1＋m}。若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为。 【解析】 (1)条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤m＋1，又因为p是q的充分不必要条件，所以有错误!解得m≥9。故选B。 (2)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10， ∴P＝{－2≤x≤10}， 39 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P。 则错误!∴0≤m≤3。 所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]。 【答案】 (1)B (2)[0,3] 【母题变式】 1.本典例(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件。 【解析】 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S， ∴错误!∴错误! 即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件。 【答案】 不存在 2．本典例(2)条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围。 40 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 【解析】 由例题知P＝{－2≤x≤10}， ∵綈P是綈S的必要不充分条件， ∴P?S且。 ∴[－2,10][1－m,1＋m]。 ∴错误!或错误! ∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)。 【答案】 [9，＋∞) 反思归纳 由充分条件、必要条件求参数。解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解。但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值。 微考场 新提升 1．命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝”的逆否命题是( ) A．“若a，b，c成等比数列，则b2≠” 41 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 B．“若a，b，c不成等比数列，则b2≠” C．“若b2＝，则a，b，c成等比数列” D．“若b2≠，则a，b，c不成等比数列” 解析 根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝”的逆否命题是“若b2≠，则a，b，c不成等比数列”。故选D。 答案 D 2．已知向量a＝(α，α)，b＝(β，β)，且a与b的夹角为θ，则“－＝1”是“θ＝60°”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 由条件可知＝＝1，若－＝1，则(a－b)2＝1，即a2＋b2－2a·b 42 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 ＝1，所以1＋1－2θ＝1，即θ＝，故θ＝60°。同理，若θ＝60°，则－＝1也成立。故“－＝1”是“θ＝60°”的充分必要条件。故选C。 答案 C 3．设m，n为正实数，则“m D．既不充分也不必要条件 解析 解法一：m，n为正实数是此题的大前提条件，所以可得m2 － 故“m 解法二：构造函数f(x)＝x2－(x>0)，易知f(x)＝x2－(x>0)是单调递增函数，任取m，n>0，当m 43 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 时，易得m 答案 C 4．已知在实数a，b满足某一前提条件时，命题“若a>b，则<”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题，则实数a，b应满足的前提条件是。 解析 显然≠0，当>0时，b，则必有a>0>b，故>0>，所以原命题是假命题；若<，则必有<0<，故a<0 答案 <0 5．若x 解析 由已知易得{2－2x－3>0}{ 44 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 3>0}＝{<－1或x>3}， ∴错误!或错误!∴0≤m≤2。 答案 [0,2] 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆ 考纲要求 真题举例 命题角度 45 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 1.了解逻辑联结2016，浙江卷，4,5分(含有一个量1.含有逻辑联结词词命题的否定) 词的命题的真假2.判断全称命真假；全称命题、定；已知全称(特参数取值范围。 “或”“且”2015，全国卷Ⅰ，3,5分(含有一个判断； “非”的含义； 量词命题的否定) 与存在量词的的应用) 意义； 3.能正确地对含联结词) 命题进行否定。 联结词) 微知识 小题练 自|主|排|查 1．简单的逻辑联结词 46 / 1440 2.理解全称量词2015，山东卷，12,5分(全称量词题、特称命题的2014，辽宁卷，5,5分(简单的逻辑特称命题的否有一个量词的2014，重庆卷，6,5分(简单的逻辑称)命题真假，求高三文科数学第一轮复习资料 (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词。 (2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定 p 真 真 假 假 2．量词及含有一个量词的命题的否定 (1)全称量词和存在量词 ①全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“?”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“?”表示。 ②含有全称量词的命题，叫做全称命题。“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：?x∈M，p(x)。 47 / 1440 q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假 綈p 假 假 真 真 高三文科数学第一轮复习资料 ③含有存在量词的命题，叫做特称命题。“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：?x0∈M，p(x0)。 (2)含有一个量词的命题的否定 命题 ?x∈M，p(x) ?x0∈M，p(x0) 微点提醒 1．逻辑联结词“或”“且”“非”对应着集合运算中的“并”“交”“补”。因此，可以借助集合的“并、交、补”的意义来求解“或、且、非”三个逻辑联结词构成的命题问题。 2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q见真即真，p∧q见假即假，p与綈p真假相反。 3．全称命题(特称命题)的否定是特称命题(全称命题)。其真假性与原命题相反。要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题， 48 / 1440 命题的否定 ?x0∈M，綈p(x0) ?x∈M，綈p(x) 高三文科数学第一轮复习资料 对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”。 小|题|快|练 一 、走进教材 1．(选修1－1P26A组T3改编)命题?x∈R，x2＋x≥0的否定是( ) A．?x0∈R，＋x0≤0 B．?x0∈R，＋x0<0 C．?x∈R，x2＋x≤0 D．?x∈R，x2＋x<0 【解析】 由全称命题的否定是特称命题知命题B正确。故选B。 【答案】 B 2．(选修1－1P18A组T1(3)改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( ) A．1 C．3 B．2 D．4 49 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 【解析】 p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题。故选B。 【答案】 B 二、双基查验 1．已知命题p：?x>0，总有(x＋1)>1，则綈p为( ) A．?x0≤0，使得(x0＋1)0≤1 B．?x0>0，使得(x0＋1)0≤1 C．?x>0，总有(x＋1)≤1 D．?x≤0，总有(x＋1)≤1 【解析】 全称命题的否定规律是“改变量词、否定结论”，“?x>0，总有(x＋1)>1”的否定是“?x0>0，使得(x0＋1)0≤1。”故选B。 【答案】 B 2．命题“?x∈R，x2≠x”的否定是( ) 50 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 A．?x?R，x2≠x C．?x0?R，≠x B．?x∈R，x2＝x D．?x0∈R，＝x0 【解析】 全称命题“?x∈R，x2≠x”的否定为特称命题，“?x0 ∈R，＝x0”。故选D。 【答案】 D 3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件。则下列命题为真命题的是( ) A．p∧q C．綈p∧q B．綈p∧綈q D．p∧綈q 【解析】 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q，綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q，綈p∧q为假 51 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 命题，p∧綈q为真命题。故选D。 【答案】 D 4．命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为 。 【答案】 存在两个等边三角形，它们不相似 5．命题“存在实数x0，y0，使得x0＋y0>1”，用符号表示为；此命题的否定是(用符号表示)，是(填“真”或“假”)命题。 【答案】 ?x0，y0∈R，x0＋y0>1 ?x，y∈R，x＋y≤1 假 微考点 大课堂 考点一 【典例1】 (1)已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若x＞y，则x2＞y2。在命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命 52 / 1440 含逻辑联结词命题的真假判断 高三文科数学第一轮复习资料 题是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ (2)若命题“p∧q”为假命题，且“綈p”为假命题，则( ) A．“p或q”为假 C．q真 B．q假 D．p假 【解析】 (1)由不等式的性质，得p真，q假。由“或、且、非”的真假判断得到①假，②真，③真，④假。故选C。 (2)由“綈p”为假，知“p”为真，又“p∧q”为假命题，从而q为假命题。故选B。 【答案】 (1)C (2)B 错误! 【变式训练】 已知命题p：函数y＝2－(a＞0且a≠1)恒过(1,2) 53 / 1440 ＋1 高三文科数学第一轮复习资料 点；命题q：若函数f(x－1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，则下列命题为真命题的是( ) A．p∨q C．(綈p)∧q B．p∧q D．p∨(綈q) 【解析】 函数y＝2－＋1恒过定点(－1,1)，故命题p是假命题，綈p是真命题；函数f(x)的图象是由函数f(x－1)的图象向左平移一个单位得到的，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，因此q为假命题，綈q为真命题，从而p∨(綈q)为真命题。故选D。 【答案】 D 考点二 角度一：全称命题、特称命题的真假判断 【典例2】 (1)下列命题中的假命题是( ) 54 / 1440 含有一个量词的命题……多维探究 高三文科数学第一轮复习资料 A．?x∈R,2x－1>0 B．?x∈N*，(x－1)2>0 C．?x0∈R，0<1 D．?x0∈R，0＝2 (2)已知命题p：?x>0，x＋≥4；命题q：?x0∈(0，＋∞)，2x0＝，则下列判断正确的是( ) A．p是假命题 B．q是真命题 C．p∧(綈q)是真命题 D．(綈p)∧q是真命题 【解析】 (1)因为2x－1>0，对?x∈R恒成立，所以A是真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B是假命题；存在0 (2)当x>0时，x＋≥2 ＝4，p是真命题；当x>0时，2x>1，q是假命题，所以p∧(綈q)是真命题，(綈p)∧q是假命题。故选C。 55 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 【答案】 (1)B (2)C 角度二：全称命题、特称命题的否定 【典例3】 (1)设命题p：?n∈N，n2>2n，则綈p为( ) A．?n∈N，n2>2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n (2)(2016·大连模拟)命题“对任意x∈R，都有x2≥2”的否定为( A．对任意x∈R，都有x2<2 B．不存在x∈R，都有x2<2 C．存在x0∈R，使得≥2 D．存在x0∈R，使得<2 【解析】 (1)因为“?x0∈M，p(x0)”的否定是“?x∈M，綈p(x)”所以命题“?n∈N，n2>2n”的否定是“?n∈N，n2≤2n”。故选C。 56 / 1440 ) ，高三文科数学第一轮复习资料 (2)按照“任意”改“存在”，结论变否定的模式，应该为存在x0∈R，使得<2。故选D。 【答案】 (1)C (2)D 反思归纳 1.判定全称命题“ x∈(x)”是真命题，需要对集合M中的 每一个元素x,证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个0,使p(x0)成立。 2.对全（特）称命题进行否定的方法 (1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词。 (2)对原命题的结论进行否定。 【变式训练】 (1)下列命题中的真命题是( ) A．?x∈R，使得＋＝ B．?x∈(0，＋∞)，>x＋1 57 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 C．?x∈(－∞，0)，2x<3x D．?x∈(0，π)，> (2)写出下列命题的否定并判断其真假： ①p：不论m取何实数值，方程x2＋－1＝0必有实数根； ②p：有的三角形的三条边相等； ③p：菱形的对角线互相垂直； ④p：?x∈N，x2－2x＋1≤0。 【解析】 (1)因为＋＝≤<，故A错误；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；因为x∈时有<，故D错误。故选B。 (2)①綈p：存在一个实数m0，使方程x2＋m0x－1＝0没有实数根。因为该方程的判别式Δ＝＋4>0恒成立，故綈p为假命题。 ②綈p：所有的三角形的三条边不全相等。显然綈p为假命题。 ③綈p：有的菱形的对角线不垂直。显然綈p为假命题。 ④綈p：?x∈N，x2－2x＋1>0。 显然当x＝1时，x2－2x＋1>0不成立，故綈p是假命题。 58 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 【答案】 (1)B (2)见解析 考点三 由命题的真假求参数的范围……母题发散 【典例4】 已知p：?x∈R，2＋1≤0，q：?x∈R，x2＋＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为( ) A．m≥2 C．m≤－2或m≥2 B．m≤－2 D．－2≤m≤2 【解析】 依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，綈p为真，则有2＋1>0恒成立，则有m≥0； 当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<0，－2 错误! ，即m≥2。故选A。 【答案】 A 【母题变式】 1.本典例条件不变，若p∧q为真，则实数m的取值 59 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 范围为。 【解析】 依题意，当p是真命题时，有m<0； 当q是真命题时，有－2 2．本典例条件不变，若p∧q为假，p∨q为真，则实数m的取值范围为。 【解析】 若p∧q为假，p∨q为真，则p、q一真一假。 当p真q假时错误!∴m≤－2； 当p假q真时错误!∴0≤m<2。 ∴m的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)。 【答案】 (－∞，－2]∪[0,2) 3．本典例中的条件q变为?x∈R，x2＋＋1<0，其他不变，则实数m 60 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 的取值范围为。 【解析】 依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>0， ∴m>2或m<－2。 由错误!得0≤m≤2， ∴m的取值范围是[0,2]。 【答案】 [0,2] 反思归纳 根据命题真假求参数的步骤 1．先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； 2．然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； 3．最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围。 微考场 新提升 61 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 1．命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( ) A．?n∈N*，f(n)?N*且f(n)＞n B．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)＞n C．?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)＞n0 D．?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)＞n0 解析 全称命题的否定为特称命题，因此命题“?n∈N*，f(n)∈N* 且f(n)≤n”的否定形式是“?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)＞n0”。故选D。 答案 D 2．(2016·浙江高考)命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( ) A．?x∈R，?n∈N*，使得n 62 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 解析 根据含有量词的命题的否定的形式可知，选D。 答案 D 3．(2016·洛阳模拟)已知命题p：?x0∈R，使0＝；命题q：?x∈R，都有x2＋x＋1＞0，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题。其中正确的命题是( ) A．②③ C．③④ B．②④ D．①②③ 解析 ∵＞1，∴命题p是假命题。 又x2＋x＋1＝2＋≥＞0， ∴命题q是真命题，由命题真假的真值表可以判断②③正确，故选A。 答案 A 4．命题“?x∈R,2x2－3＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为。 解析 因题中的命题为假命题，则它的否定“?x∈R,2x2－3＋ 63 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－2≤a≤2。 答案 [－2，2] 5．(2017·包头模拟)已知命题p：?a∈R，曲线x2＋＝1为双曲线；命题q：x2－7x＋12<0的解集是{3 ①命题“p∧q”是真命题； ②命题“p∧綈q”是假命题； ③命题“綈p∨q”是真命题； ④命题“綈p∨綈q”是假命题。 其中正确命题的序号是。 解析 因为命题p和命题q都是真命题，所以命题“p∧q”是真命题，命题“p∧綈q”是假命题，命题“綈p∨q”是真命题，命题“綈p∨綈q”是假命题。 答案 ①②③④ 第二章 函数、导数及其应用 64 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 第一节 函数及其表示 ☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆ 考纲要求 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域2016，全国卷Ⅱ，和值域，了解映射的概念； 10,5分(函数的定2.在实际情境中，会根据不义域、值域) 同的需要选择恰当的方法2015，全国卷Ⅱ，(如图象法、列表法、解析5,5分(分段函数) 法)表示函数； 能简单应用。 微知识 小题练 65 / 1440 真题举例 命题角度 1.以考查函数的三要素和表示法为主，函数的图象、分段函数也是考查的热点； 2.题型以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是函数的解析式，对研究函数的性质、应用有很重要的作用。 2014，全国卷Ⅱ，3.了解简单的分段函数，并15,5分(分段函数) 高三文科数学第一轮复习资料 自|主|排|查 1．函数与映射的概念 函数 建立在两个非空数集A到B的一种确定的对应关系定义 f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 记法 y＝f(x)，x∈A 映射 建立在两个非空集合A到B的一种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 f：A→B 2.函数的三要素 函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)∈A}叫做值域。 3．函数的表示法 66 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 表示函数的常用方法：解析法、列表法、图象法。 4．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数。分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数。 微点提醒 1．由于映射中的两个集合是非空集合，函数中的两个集合是非空数集。所以函数是特殊的映射。 2．判断两个函数是不是相等函数，关键是看定义域和对应关系是否相同。 3．求分段函数的函数值，要依据自变量所属的区间，选择相应的对应关系求解。当自变量不确定时，需分类讨论。 4．判断函数图象的常用结论：与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点。 小|题|快|练 67 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 一 、走进教材 1．(必修1P17例1(1)改编)函数f(x)＝＋的定义域为( ) A．[0,2) C．[0,2)∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞) 【解析】 由题意得错误!解得x≥0且x≠2。故选C。 【答案】 C 2．(必修1P23练习T2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{－2≤x≤2}，值域为N＝{0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( ) 【解析】 A中函数定义域不是[－2,2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0,2]。故选B。 68 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 【答案】 B 二、双基查验 1．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A．f(x)＝，g(x)＝ B．f(x)＝2，g(x)＝2 C．f(x)＝，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝·，g(x)＝ 【解析】 A中，g(x)＝＝，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；B中，两个函数的定义域不同，故不表示同一函数；C中，f(x)＝＝x＋1(x≠1)与g(x)＝x＋1两个函数的定义域不同，故不表示同一函数；D中，f(x)的定义域为[1，＋∞)，g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以不是同一函数。故选A。 【答案】 A 69 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 2．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10的定义域和值域相同的是( ) A．y＝x C．y＝2x B．y＝ D．y＝ 【解析】 通性通法 函数y＝10的定义域为(0，＋∞)，又当x>0时，y＝10＝x，故函数的值域为(0，＋∞)。只有D选项符合。故选D。 光速解法 易知函数y＝10中x>0，排除选项A、C；又10必为正值，排除选项B。故选D。 【答案】 D 3．(2016·重庆模拟)设函数f(x)满足f(x＋2)＝2f(x)＋x，且当0≤x<2时，f(x)＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，则f(5.5)＝( ) A．8.5 C．12.5 B．10.5 D．14.5 70 / 1440 【解析】 由题意f(x＋2)＝2f(x)＋x，得f(5.5)＝2f(3.5)＋3.5＝2(2f(1.5) 高三文科数学第一轮复习资料 ＋1.5)＋3.5＝4f(1.5)＋6.5＝4×1＋6.5＝10.5。故选B。 【答案】 B 4．(2016·江苏高考)函数y＝的定义域是。 【解析】 要使函数y＝有意义，则3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，则函数y＝的定义域是[－3,1]。 【答案】 [－3,1] 5．设f(x)＝错误!若f(2)＝4，则a的取值范围为。 【解析】 因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，则a的取值范围为(－∞，2]。 【答案】 (－∞，2] 微考点 大课堂 71 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 考点一 求函数的定义域 【典例1】 (1)(2015·湖北高考)函数f(x)＝＋的定义域为( ) A．(2,3) C．(2,3)∪(3,4] B．(2,4] D．(－1,3)∪(3,6] (2)若函数f(x2－1)的定义域为[0,3]，则函数f(x)的定义域为。 【解析】 (1)由函数y＝f(x)的表达式可知，函数的定义域应满足条件：4－≥0，>0，解得－4≤x≤4，x>3或2 (2)因为0≤x≤3，所以－1≤x2－1≤8，所以f(x)的定义域为[－1,8]。 【答案】 (1)C (2)[－1,8] 错误! 3．抽象函数： (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由 72 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域。 【变式训练】 (1)(2016·沈阳模拟)已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2,3]，则y＝f(2x－1)的定义域是( ) A．[－3,7] C．[－5,5] B．[－1,4] (2)(2017·包头模拟)函数f(x)＝的定义域是。 【解析】 (1)由x∈[－2,3]得x＋1∈[－1,4]，由2x－1∈[－1,4]，解得x∈。故选D。 (2)要使该函数有意义， 需要错误!则有错误! 解得－3 73 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 所以所求函数的定义域为(－3,0)∪(2,3)。 【答案】 (1)D (2)(－3,0)∪(2,3) 考点二 求函数的值域 【典例2】 (1)函数y＝的值域是； (2)函数y＝的值域是； (3)函数y＝x－2)的值域是； (4)函数y＝x2＋1)的值域是。 【解析】 (1)y＝4x值域为(0，＋∞)，所以0≤16－4x <16，所以0≤<＝4，故函数y＝的值域是[0,4)。 (2)因为μ＝－x2－6x－5＝－(x＋3)2＋4≤4，所以0≤μ≤4，故∈[0,2]，所以y＝x－5)的值域为[0,2]。 (3)y＝x－2)＝x－2)＝3＋。因为≠0，所以3＋≠3，所以函数y＝的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)。 74 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 (4)当x＝0时，y＝0。当x≠0时，y＝＝，若x>0，则x＋≥2，y∈；若x<0，x＋≤－2，y∈。 即该函数的值域是。 【答案】 (1)[0,4) (2)[0,2] (3)(－∞，3)∪(3，＋∞) (4) 反思归纳 求函数值域的常用方法有： (1)观察法；(2)配方法；(3)单调性法；(4)分离常数法；(5)换元法；(6)数形结合法；(7)不等式法等等，其中单调性法是最常见的方法。 【变式训练】 (1)函数y＝的值域是； (2)函数y＝－的值域是； (3)函数y＝x2＋x＋1)的值域是。 【解析】 (1)根据函数y＝x2的值域及不等式的性质可以直接观察出函数的值域为{0 75 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 (2)由错误!得x≥1，y＝错误!－错误!＝错误!在[1，＋∞)上单调递减。又错误!＋≥，因此0 (3)因为x2＋x＋1＝2＋≠0恒成立， 所以函数的定义域为R， 原式可化为y(x2＋x＋1)＝x2－x＋1， 整理得(y－1)x2＋(y＋1)x＋y－1＝0。 若y＝1，即2x＝0，则x＝0； 若y≠1，因为x∈R，即有Δ≥0，所以(y＋1)2－4(y－1)2≥0，解得≤y≤3且y≠1。综上所述，函数的值域是{≤y≤3}。 【答案】 (1) (2)(0，] (3) 考点三 求函数的解析式……母题发散 【典例3】 (1)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 76 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 则f(x)＝。 (2)已知＝x2＋，则f(x)＝。 【解析】 (1)设f(x)＝2＋＋c(a≠0)， 由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝2＋， 又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝2＋＋x＋1， 即2＋(2a＋b)x＋a＋b＝2＋(b＋1)x＋1， 所以错误!解得a＝b＝错误!。 所以f(x)＝x2＋x，x∈R。 (2)由于＝x2＋＝2－2， 所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2， 故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2。 77 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 【答案】 (1)x2＋x，x∈R (2)x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞) 【母题变式】 若将本典例(2)的条件改为“f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2·－1”，如何求解？ 【解析】 在f(x)＝2－1中， 用代替x，得＝2f(x)－1， 将＝－1代入f(x)＝2－1中， 可求得f(x)＝＋。 即函数f(x)的解析式为f(x)＝＋，x∈(0，＋∞)。 【答案】 f(x)＝＋，x∈(0，＋∞) 反思归纳 函数解析式的求法 1．待定系数法：适合已知函数的类型(如一次函数、二次函数)。 2．换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注 78 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 意新元的取值范围。 3．配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式。 4．消去法：已知f(x)与或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件将x换成或－x构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。 【拓展变式】 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)。若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝。 【解析】 当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)， 当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1， ∴f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)， 而f(x)＝f(x＋1)＝－x2－x。 ∴当－1≤x≤0时，f(x)＝－x2－x。 【答案】 －x2－x 79 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 考点四 角度一：分段函数求值 分段函数…………多维探究 【典例4】 (1)(2016·沈阳监测)已知函数f(x)＝错误!则f(f(4))的值为( ) A．－ B．－9 D．9 (2)已知f(x)＝错误!若f(a)＝错误!，则a＝。【解析】 (1)f(4)＝4＝－2＝－2， 所以f(f(4))＝f(－2)＝3－2＝。故选C。 (2)若a≥0，由f(a)＝得，＝，解得a＝；若a∈，解得a＝－。综上可知，a＝或－。 【答案】 (1)C (2)或－ 角度二：分段函数图象与性质的应用 80 / 1440 a<0，则＝， 高三文科数学第一轮复习资料 【典例5】 对任意实数a，b定义运算“?”：a?b＝错误!设f(x)＝(x2 －1)?(4＋x)，若函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是( ) A．(－2,1) C．[－2,0) B．[0,1] D．[－2,1) 【解析】 解不等式x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3。 所以f(x)＝错误!其图象如图实线所示，由图可知，当－1<－k≤2，y＝f(x)与y＝k恰有三个交点，即当－2≤k<1时，函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点。故选D。 81 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 【答案】 D 反思归纳 1.对于分段函数给定自变量求函数值时，应根据自变量的范围，利用相应的解析式直接求解；若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解，但应注意检验该值是否在相应的自变量取值范围之内。 2．由分段函数的函数值相同求自变量或参数的范围问题，一般画出分段函数的图象，观察在相应区间上函数图象与相应直线相交的交点横坐标的范围，列出函数满足的不等式，从而解出参数范围。 82 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 微考场 新提升 1．下列函数中，与函数y＝x相等的是( ) A．y＝()2 C．y＝ B．y＝ D．y＝ 解析 A中，y＝()2＝x(x≥0)与函数y＝x(x∈R)对应关系相同，但定义域不同，故A错；C中，函数y＝＝(x∈R)与函数y＝x(x∈R)的对应关系不同，故C错；D中，函数y＝＝x(x≠0)与函数y＝x(x∈R)的定义域不同，故D错；B中，函数y＝＝x(x∈R)与函数y＝x(x∈R)对应关系相同，定义域也相同，故B正确。故选B。 答案 B 2．已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝2x，④y＝2。其中能构成从M到N的函数的 83 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 是。 解析 对于①，②，M中的2,4两元素在N中找不到元素与之对应，对于③，M中的－1,2,4在N中没有元素与之对应。 答案 ④ 3．对于集合A＝{0≤x≤2}，B＝{0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是( ) 解析 对于B，C两图可以找到一个x与两个y对应的情形，对于A图，当x＝2时，在B中找不到与之对应的元素。故选D。 答案 D 84 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 4．设f，g都是从A到A的映射(其中A＝{1,2,3})，其对应关系如下表： x 1 2 3 f 3 1 2 g 3 2 1 则f(g(3))等于( ) A．1 B．2 C．3 D．不存在 解析 由表格可知g(3)＝1，∴f(g(3))＝f(1)＝3。故选答案 C 5．设函数f(x)＝错误!若错误!＝4，则b＝( ) A．1 解析 ＝3×－b＝－b， 当－b≥1，即b≤时，＝2－b， 85 / 1440 C。 高三文科数学第一轮复习资料 即2－b＝4＝22，得到－b＝2，即b＝； 当－b<1，即b>时，＝－3b－b＝－4b， 即－4b＝4，得到b＝<，舍去。 综上，b＝。故选D。 答案 D 微专题 巧突破 函数的新定义问题 定义函数问题是指给出阅读材料，设计一个陌生的数学情境，定义一个新函数，并给出新函数所满足的条件或具备的性质；或者给出已知函数，再定义一个新概念(如不动点)，把数学知识与方法迁移到这段阅读分析材料，考生需捕捉相关信息，通过归纳、探索，发现解题方法，然后解决问题。处理此类题目的方法如下： (1)联想背景：有些题目给出的新函数是以熟知的初等函数(如一次函 86 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等)为背景定义的，可以通过阅读材料，分析有关信息，联想背景函数及其性质，进行类比，捕捉解题灵感，然后解决问题。 (2)紧扣定义：对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答。 (3)巧妙赋值：如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法，即令x，y取特殊值，或为某一范围内的值，求得特殊函数值或函数解析式，再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题。 (4)构造函数：有些新定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成。 【典例】 在平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L－距离”定义为1P2＝1－x2|＋1－y2|，则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L－距离”之和等于定值(大于1F2)的点的轨迹可以是( ) 87 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 【解析】 设P(x，y)，F1(－c,0)，F2(c,0)，c>0，则1F2＝2c，依题意，得1＋2＝2d(d为常数，且d>c)，所以＋＋－0|＋－＋－0|＝2d，即＋＋－＋2＝2d。 ①当－c≤x≤c时，(x＋c)＋c－x＋2＝2d，即y＝±(d－c)； ②当x<－c时，－(x＋c)＋c－x＋2＝2d，即x±y＋d＝0； 88 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 ③当x>c时，(x＋c)＋x－c＋2＝2d，即x±y－d＝0。 画出以上三种情形的图象，可知选项A正确。 【答案】 A 【变式训练】 对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数。下列函数中是准偶函数的是( ) A．f(x)＝ C．f(x)＝ B．f(x)＝x2 D．f(x)＝(x＋1) 【解析】 由题意可得准偶函数的图象关于直线x＝a(a≠0)对称，即准偶函数的图象存在不是y轴的对称轴。选项A，C中函数的图象不存在对称轴，选项B中函数的图象的对称轴为y轴，只有选项D中的函数满足题意。故选D。 【答案】 D 89 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 第二节 函数的单调性与最值 ☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆ 考纲要求 真题举例 命题角度 1.主要考查函数单调性的判定、求单调区间、比较大小、解不等式、求最值及不等式恒成立问题； 2.题型多以选择题、填空题为主，若与导数知识交汇命题则以解答题的形式出现，属中高档题。 1.理解函数的单2016，天津卷，13,5调性、最大值、最分(函数的单调性、奇小值及其几何意偶性) 义； 2016，北京卷，4,52.会运用基本初分(函数单调性) 等函数的图象分2014，全国卷Ⅰ，16,5析函数的性质。 分(函数单调性) 微知识 小题练 90 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 自|主|排|查 1．增函数与减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： (1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。 (2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。 2．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间。 3．函数的最大值与最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值。 91 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 (2)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么我们称M是函数y＝f(x)的最小值。 4．函数单调性的两个等价结论 设?x1，x 2∈D(x1≠x 2)，则 (1)>0(或>0)?f(x)在D上单调递增； (2)<0(或<0)?f(x)在D上单调递减。 5．对勾函数的单调性 对勾函数y＝x＋(a>0)的递增区间为(－∞，－]和[，＋∞)；递减区间为[－，0)和(0，]，且对勾函数为奇函数。 6．函数单调性常用结论 定义法 图象法 导数法 区间D上单调递增 x1< x 2?f(x1) 区间D上单调递减 x1< x 2?f(x1)>f(x2) 函数图象下降的 导数小于零 高三文科数学第一轮复习资料 运算法 复合法 微点提醒 递增＋递增 内外层单调性相同 递减＋递减 内外层单调性相反 1．函数的单调性是对某个区间而言的，如函数y＝分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内不单调递减，单调区间只能分开写或用“和”连接，不能用“∪”连接，也不能用“或”连接。 2．一个函数在某个区间上是增函数，但它的递增区间的范围有可能大，例如f(x)＝x在[0，＋∞)上是增函数，但是f(x)的递增区间是(－∞，＋∞)。 3．闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值，求函数最值的基本方法是利用函数的单调性。 小|题|快|练 93 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 一 、走进教材 1．(必修1P39B组T3改编)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A．y＝－x3，x∈R C．y＝x，x∈R B．y＝，x∈R D．y＝x，x∈R 【解析】 选项B在其定义域内是奇函数但不是减函数；选项C在其定义域内既是奇函数又是增函数；选项D在其定义域内不是奇函数，是减函数。故选A。 【答案】 A 2．(必修1P45B组T4改编)设函数f(x)＝错误!是R上的减函数，那么实数a的取值范围是( ) A．(0,1) 【解析】 当x≤1时，f(x)＝(3a－1)x＋4a为减函数，则3a－1<0， 94 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 即a<；当x>1时，f(x)＝为减函数，则0 【答案】 C 二、双基查验 1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是( ) A．y＝e C．y＝ －x B．y＝ D．y＝ 【解析】 由所给选项知只有y＝的定义域是R且为增函数。故选B。 【答案】 B 2．(2016·北京高考)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A．y＝ C．y＝(x＋1) B．y＝ D．y＝2 －x 【解析】 函数y＝，y＝(x＋1)在(－1,1)上都是增函数，函数y＝在(－1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，而函数y＝2－x＝x在(－1,1)上是减 95 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 函数。故选D。 【答案】 D 3．若函数y＝＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( ) A．2 C．2或－2 B．－2 D．0 【解析】 当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2，所以a＝±2。故选C。 【答案】 C 4．(2016·北京高考)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为。 【解析】 f(x)＝＝＝1＋，∵x≥2，∴x－1≥1,0<≤1，∴1＋∈(1,2]，故当x＝2时，函数f(x)＝取得最大值2。 【答案】 2 96 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 微考点 大课堂 考点一 确定函数的单调性 【典例1】 判断并证明函数f(x)＝2＋(其中1 【解析】 解法一：设1≤x1 由1≤x1 97 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 又因为1 故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增。 解法二：因为f′(x)＝2－，而x∈[1,2]， 所以－1≤－≤－， 又因为a∈(1,3)，所以2<2<12，故2－>0，即f′(x)>0， 故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增。 【答案】 单调递增，证明见解析 反思归纳 对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： 1．可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解。 98 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 2．可导函数则可以利用导数判断。但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断。 【变式训练】 讨论函数f(x)＝(a＞0)在x∈(－1,1)上的单调性。 【解析】 解法一(定义法) 设－1＜x1＜x2＜1， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝。 ∵－1＜x1＜x2＜1，a＞0， ∴x2－x1＞0，x1x2＋1＞0，(－1)(－1)＞0。 ∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)， 故函数f(x)在(－1,1)上为减函数。 解法二(导数法) f′(x)＝＝。 99 / 1440 高三文科数学第一轮复习资料 当a＞0时，f′(x)＜0； 所以当a＞0时，f(x)在(－1,1)上是单调递减的。 【答案】 单调递减 考点二 确定函数的单调区间……母题发散 【典例2】 (2016·黄冈模拟)函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f()(0 C．(－∞，0)∪ B．[，1] D．[，] 【解析】 由图象知f(x)在(－∞，0]和上单调递减，而在上单调递增。 100 / 1440
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