故最后两位码元正确，出错的码元只能是第四位或第五位． 同理，第1，3，5，7位的码元依次为1011， 所以x1⊕x3＝1⊕0＝1，x1⊕x3⊕x5＝1⊕1＝0， x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0⊕1＝1，显然不满足校验方程组． 所以出错的码元是第5位，即k＝5.
10．(2014·陕西理)观察分析下表中的数据：
多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12 猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________． 答案 F＋V－E＝2
解析 三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2. 11．分形几何学是数学家伯努瓦·曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．
易知第三行有白圈5个，黑圈4个，我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数．比如第一行记为(1，0)，第二行记为(2，1)，第三行记为(5，4)． (1)第四行的白圈与黑圈的“坐标”为________；
(2)照此规律，第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为________． 3答案 (1)(14，13) (2)(
n－1
＋13－1*
，)(n∈N) 22
n－1
解析 (1)从题中的条件易知白圈、黑圈的变化规律：一个白圈的下一行对应两个白圈和一个黑圈，一个黑圈的下一行对应一个白圈和两个黑圈，因此第4行的白圈个数为5×2＋4×1＝14，黑圈个数为5×1＋4×2＝13，所以第四行的白圈与黑圈的“坐标”为(14，13)． (2)第n行中的白圈和黑圈总数为3
n
n
n－1
个，设“坐标”为(an，3
n－1
n－1
－an)，则第n＋1行中的白圈和黑圈总数为
n－1
3个，设“坐标”为(an＋1，3－an＋1)＝(an＋33
得到第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为(，2×3
n－1
－an)，即a1＝1，an＋1＝an＋3
3?an＝
n－1
＋1
，从而2
n－1
＋13－1*
，)(n∈N)． 22
n－1
12．(2017·北京，文)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．
9
②该小组人数的最小值为________． 答案 ①6 ②12
解析 令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，且x>y>z，①若教师人数为4，则4 13°＋cos2 17°－sin13°cos17°； ②sin2 15°＋cos2 15°－sin15°cos15°； ③sin2 18°＋cos2 12°－sin18°cos12°； ④sin2 (－18°)＋cos2 48°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin2 (－25°)＋cos2 55°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论． 答案 (1)34 (2)sin2α＋cos2 (30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34 解析 方法一：(1)选择②式，计算如下： sin215°＋cos2 15°－sin15°cos15°＝1－1132sin30°＝1－4＝4. (2)三角恒等式为sin2α＋cos2 (30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34. 证明如下： sin2 α＋cos2 (30°－α)－sinαcos(30°－α) ＝sin2 α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2 －sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα) ＝sin2α＋34cos2α＋32sinαcosα＋14sin2α－32sinαcosα－12sin2 α ＝3232 34sinα＋4cosα＝4. 方法二：(1)同解法一． (2)三角恒等式为 sin2α＋cos2 (30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34. 证明如下： sin2 α＋cos2 (30°－α)－sinαcos(30°－α) ＝1－cos2α2＋1＋cos（60°－2α）2－sinα·(cos30°cosα＋sin30°sinα) ＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－312 2sinαcosα－2 sinα ＝12－11133111132cos2α＋2＋4cos2α＋4·sin2α－4sin2α－4(1－cos2α)＝1－4cos2α－4＋4cos2α＝4 . 10
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