利用导数解决函数的单调性问题
建议用时：45分钟 （对应学生用书第240页）
一、选择题
1.函数f（x）＝3＋xln x的单调递减区间是（ ） ?1?
A.?e，e? ??1??
C.?－∞，e? ??
1??
B.?0，e? ???1?D.?e，＋∞? ??
1
B ［因为函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f′（x）＝ln x＋x·x＝ln x
1
＋1，令f′（x）＜0，解得0＜x＜e，
1??0，?所以f（x）的单调递减区间是.］ e???
2.已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（ ）
A
B
C D
C ［由导函数f′（x）的图象可知，函数y＝f（x）先减再增，可排除选项A，B；又f′（x）＝0的根为正数，即y＝f（x）的极值点为正数，
所以可排除选项D，选C.］
3.若函数f（x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上单调递增，则k的取值范围是（ ）
A.（－∞，－2］ C.［2，＋∞）
B.（－∞，－1］ D.［1，＋∞）
1
D ［由于f′（x）＝k－x，f（x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上单调递111
增?f′（x）＝k－x≥0在（1，＋∞）上恒成立.由于k≥x，而0＜x＜1，
所以k≥1.
即k的取值范围为［1，＋∞）.］
1
4.设函数f（x）＝x2－9ln x在区间［a－1，a＋1］上单调递减，则实数a
2的取值范围是（ ）
A.（1,2］ C.（－∞，2）
B.（4，＋∞） D.（0,3］
199
A ［因为f（x）＝2x2－9ln x，所以f′（x）＝x－x（x＞0），由x－x≤0，得0＜x≤3，所以f（x）在（0,3］上是减函数，
则［a－1，a＋1］?（0,3］， 所以a－1＞0且a＋1≤3， 解得1＜a≤2.］
5.若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＜xf′（x），则下列关系成立的是（ ）
A.2f（1）＜f（2） C.2f（1）＝f（2）
B.2f（1）＞f（2） D.f（1）＝f（2）
f（x）xf′（x）－f（x）A ［设g（x）＝x，则g′（x）＝.因为f（x）＜xf′
x2（x），所以g′（x）＞0，所以函数g（x）在区间（0，＋∞）上单调递增，所f（1）f（2）
以1＜2，即2f（1）＜f（2）.故选A.］
二、填空题
6.函数f（x）＝ln x－ax（a＞0）的单调递增区间为 . 1?1?
?0，a? ［由题意，知f（x）的定义域为（0，＋∞），由f′（x）＝x－a＞??1?1?0（a＞0），得0＜x＜a，∴f（x）的单调递增区间为?0，a?.］
??
7.若函数f（x）＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是 .
（－3,0）∪（0，＋∞） ［由题意知f′（x）＝3ax2＋6x－1，由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点，所以3ax2＋6x－1＝0需满足a≠0，且Δ＝36＋12a＞0，解得a＞－3且a≠0，所以实数a的取值范围是（－3,0）∪（0，＋∞）.］
1
8.若函数f（x）＝ln x－2ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是 .
1－ax2－2x1
（－1，＋∞） ［f′（x）＝x－ax－2＝，由题意知f′（x）＜
x0有实数解，
∵x＞0，
∴ax2＋2x－1＞0有实数解.
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