一、填空题
1．命题公式P?(Q?P)的真值是 1 ．
2．设P：他生病了，Q：他出差了．R：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (P∨Q )→R ．
3．含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P?Q的主析取范式是 (P?Q?R)∨(P?Q?┐R) ．
4．设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 ?x(P(x)?Q(x)) ．
5．设个体域D＝{a, b},那么谓词公式?xA(x)??yB(y)消去量词后的等值式为 A(a)?A(b)?(B(a)?B(b)) ．
6．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(?x)A(x) 的真值为 0 ．
7．谓词命题公式(?x)((A(x)?B(x)) ?C(y))中的自由变元为 y ． 8．谓词命题公式(?x)(P(x) ?Q(x) ?R(x，y))中的约束变元为 x ．
三、公式翻译题
1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．
解：设P：今天是晴天，
命题“今天是晴天”翻译成命题公式为P。
2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．
解：设P：小王去旅游，Q：小李去旅游．
命题“小王去旅游，小李也去旅游”翻译成命题公式为P∧Q。
3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式．
解：设P：明天天下雪，Q：我就去滑雪．
命题“如果明天天下雪，我就去滑雪”翻译成命题公式为P→Q。
4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
解：设P：他去旅游，Q：他有时间．
命题“他去旅游，仅当他有时间”翻译成命题公式为P→Q。
5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式．
解：设P(x)：x是人，Q(x)：x去工作．
命题“有人不去工作”翻译成谓词公式为?x(P(x)??Q(x))。
6．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．
解：设P(x)：x是人，Q(x)：x努力工作．
命题“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式为?x(P(x)?Q(x))
四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．命题公式?P?P的真值是1．
答：不正确。因为当P是真命题时，┐P是假命题，当P是假命题时，┐P是真命题，所以┐P∧P是假命题，真值是0。
2．命题公式?P?(P??Q)?P为永真式．
答：正确。因为┐P∧（P→┐Q）??P?(?P??Q)??P，┐P∨P?1，所以命题公式是永真式。
3．谓词公式?xP(x)?(?yG(x,y)??xP(x))是永真式．
答：正确。因为?xP(x)?(?yG(x,y)??xP(x))??xP(x)?(??yG(x,y)??xP(x))
???xP(x)?(??yG(x,y)??xP(x))???xP(x)???yG(x,y)??xP(x) ?(??xP(x)??xP(x))???yG(x,y)?1???yG(x,y)?1。
所以命题公式是永真式。
4．下面的推理是否正确，请给予说明．
(1) (?x)A(x)? B(x) 前提引入
(2) A(y) ?B(y) US (1)
答：不正确。因为?x的辖域是A(x)，不包含B(x)，所以根据全称量词消去规则，只能得到A(y)?B(x)，而不能得到A(y)?B(y)。
四．计算题
1． 求P?Q?R的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．
解：?P?Q?R??P?Q?R?M4
所以P?Q?R的析取范式为?P?Q?R， 合取范式为(?P?Q?R)，
主合取范式为(?P?Q?R)，即M4。
则主析取范式为m0?m1?m2?m3?m5?m6?m7，
2．求命题公式(P?Q)?(R?Q) 的主析取范式、主合取范式．
解：?(P?Q)?(R?Q)??(P?Q)?(R?Q)?(?P??Q)?(R?Q)
?(?P?R?Q)?(?Q?R?Q)?(?P?R?Q)?(1?R)?(?P?Q?R)?1 ??P?Q?R?M4
所以(P?Q)?(R?Q)的主合取范式为(?P?Q?R)，即M4。 则主析取范式为m0?m1?m2?m3?m5?m6?m7，
3．设谓词公式(?x)(P(x,y)?(?z)Q(y,x,z))?(?y)R(y,z)． （1）试写出量词的辖域；
（2）指出该公式的自由变元和约束变元．
解：（1）量词(?x)的辖域为P(x,y)?(?z)Q(y,x,z)，量词(?z)的辖域为Q(y,x,z)，量词(?y)的辖域为R(y,z)；
（2）该公式的自由变元为y,z，y自由出现2次，z自由出现1次，约束变元为x,y,z，x约束出现2次，y,z各约束出现1次。
4．设个体域为D={a1, a2}，求谓词公式?y?xP(x,y)消去量词后的等值式；
解：谓词公式?y?xP(x,y)消去量词后的等值式为：?xP(x,a1)??xP(x,a2)? (P(a1,a1)?P(a2,a1))?(P(a1,a2)?P(a2,a2))
五、证明题
1．试证明 (P?(Q??R))??P?Q与? (P??Q)等价．
证明：(P?(Q??R))??P?Q?(?P?(Q??R))??P?Q
?((?P?(Q??R))??P)?Q??P?Q??(P??Q)
所以，(P?(Q??R))??P?Q与? (P??Q)等价
2．试证明(?x)(P(x) ?R(x))?(?x)P(x) ? (?x)R(x)．
证明：(1) (?x)(P(x) ?R(x)) P
(2) P(c) ?R(c) ES(1) (3) P(c) T (2) E (4) R(c) T (2) E (5) (?x)P(x) EG(3) (6) (?x) R(x) EG(4) (7) (?x)P(x) ?(?x)R(x) T (5) (6) E
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