2020年高考数学理复习讲练测空间几何体的表面积与体积解析版(16页)

2020年高考数学理复习讲练测空间几何体的表面积与体积

1. 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

知识点一 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 侧面展开图 侧面积公S圆柱侧＝2πrl 式 知识点二 柱、锥、台、球的表面积和体积

名称 表面积 几何体 柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆S表面积＝S侧＋S底 锥) 台体(棱台和圆台) 球 【知识必备】

底圆柱 圆锥 圆台 S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 体积 S表面积＝S侧＋2SV＝Sh 1V＝3Sh 1V＝3(S上＋S下＋S上S下)h 4V＝3πR3 S表面积＝S侧＋S上＋S下 S＝4πR2 a3

1．设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝2，外接球半径R＝2a. a2＋b2＋c22．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝. 266

3．设正四面体的棱长为a，则它的高为3a，内切球半径r＝12a，外接球6

半径R＝4a.

4．直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径．

考点一 空间几何体的的表面积

【典例1】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )

A．122π B．12π C．82π D．10π

(2)(2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )

A．18＋365 B．54＋185 C．90

D．81

【答案】(1)B (2)B

【解析】(1)设圆柱的直径为2R，则高为2R，由题意得4R2＝8，所以R＝2，则圆柱表面积为π·(2)2×2＋22π×22＝12π.故选B.

(2)由三视图可知该几何体是底面为正方形(边长为3)，高为6，侧棱长为35的斜四棱柱，其表面积S＝2×32＋2×3×35＋2×3×6＝54＋185.故选B.

【方法技巧】求空间几何体表面积的常见类型及思路

求多面体的表面积 求旋转体其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线的表面积 长与对应侧面展开图中的边长关系 求不规则通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将几何体的表面体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，积 由三视图再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位求几何体的表置关系及度量大小，然后还原几何体的直观图，套用面积 公式求解 【变式1】（广东华南师大附中2019届高三模拟）在梯形ABCD中，∠ABCπ

＝2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )

A．4π

B.(4＋2)π C．6π D．(5＋2)π

【答案】D

π

【解析】∵在梯形ABCD中，∠ABC＝2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱减去一个底面半径为AB＝1，高为BC－1

AD＝2－1＝1的圆锥的组合体，∴几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋2×2π×1×12＋12＝(5＋2)π.

考点二 直接利用公式求体积

【典例2】【2019年高考北京卷】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．

【答案】40