线性代数实验讲义

第一章 行列式

?12?24?1???1??????2?13?42??8?3) 解：系数矩阵为 A??31?12?1?，常数项为b??3?。

???2?43422?????3???1?1?12?3?????代码为 x=zeros(1,5);

A=[1,2,-2,4,-1;2,-1,3,-4,2;3,1,-1,2,-1;4,3,4,2,2;1,-1,-1,2,-3];

b=[-1,8,3,2,-3]’; A1=A;

A1(:,1)=b;

A2=A;

A2(:,2)=b;

A3=A;

A3(:,3)=b;

A4=A;

A4(:,4)=b; A5=A; A5(:,5)=b;

x(1)=det(A1)/det(A);

x(2)=det(A2)/det(A);

x(3)=det(A3)/det(A);

x(4)=det(A4)/det(A); x(5)=det(A5)/det(A);

x

运行结果为 x= 3.3333 -10.0000 -2.6667 5.0000 9.6667

验证，代码为 A*x’ 运行结果为 ans=

-1.0000 8.0000 3.0000 2.0000 -3.0000

5．证明：由题知 F(x)?f11(x)f22(x)?f12(x)f21(x) 所以 F?(x)?(f11(x)f22(x)?f12(x)f21(x))?

?(x)f22(x)?f12?(x)f21(x))?(f11(x)f22?(x)?f12(x)f21?(x)) ?(f11

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第一章 行列式

故 F?(x)?6．

?(x)f11f21(x)f(x)f11(x)??(x)f22(x)f21x1?(x)f12f12(x) ?(x)f22证明：由F(x)?f(a)a1可知 F(a)?F(b)?0，从而，???(a,b)，有

f(b)b1f?(?)10F?(?)?0。即 F?(?)?f(a)f(b)a1?0。 故 f?(?)?b1f(b)?f(a)。这样就完成

b?a了拉格朗日的证明。

7．

解：画出此四边形如图2所示，可以将它划分为两个三角形，按三角形面积公式分别计算其面积再相加即可。

D

C

A B

图3 四边形

三角形ABD的面积为：

S1?三角形CBD的面积为：

1201?5.5 2351431011S2?1201?3.5 2351所以此四边形的面积为 S?S1?S2?9

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第二章 矩阵

第二章 矩阵

一、【实验目的】

1.通过实验让学生熟悉利用MATLAB操作矩阵基本运算。

2.熟悉利用MATLAB操作矩阵的初等变换、秩及线性方程组的求解。 二、【实验准备】

同阶矩阵：指行数相等、列数相等的矩阵． 矩阵相等：设A?(aij)m?n,B?(bij)m?n, 若

aij?bij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n), 称A?B. 1.线性运算 A?(aij)m?n,B?(bij)m?n 加法：A?B?(aij?bij)m?n?a11?b11?a1n?b1n??

????????am1?bm1?amn?bmn?? 数乘：kA?(kaij)m?n?ka11?ka1n??

????????kam1?kamn?? 负矩阵：?A?(?1)A?(?aij)m?n

减法：A?B?(aij?bij)m?n?a11?b11?a1n?b1n??

????????am1?bm1?amn?bmn?? 算律：设A,B,C为同阶矩阵, k,l为常数, 则有 (1) A?B?B?A (5) 1A?A (2) (A?B)?C?A?(B?C) (6)(kl)A?k(lA) (3) A?O?A (7) (k?l)A?kA?lA (4) A?(?A)?O (8) k(A?B)?kA?kB 2.矩阵乘法

特殊情形 P1?n??p1p2?pn?, Qn?1?q1??q???2? ??????qn? 32

第二章 矩阵

PQ?p1q1?p2q2???pnqn 一般情形 A?(aij)m?s,B?(bij)s?n

? cij??ai1ai2?b1j??b?2j?ais????ai1b1j?ai2b2j???aisbsj

???????bsj???b11?b1n??c11?c1n????????

????????bs1?bsn????cm1?cmn???a11?a1s???? AB??????am1?ams??? [注] A的列数 = B的行数．

AB的行数 = A的行数；AB的列数 = B的列数． A与B的先后次序不能改变． 算律：(1) (Am?sBs?n)Cn?l?A(BC) (2) Am?s(Bs?n?Cs?n)?AB?AC (Am?s?Bm?s)Cs?n?AC?BC (3) k(Am?sBs?n)?(kA)B?A(kB) (4) EmAm?n?A, Am?nEn?A

?a11?a21 应用：A??????am1a12a22?am2?a1n??x1??b1??y1??x??b??y??a2n?22?, x???, b???, y??2? ??????????????????xb?amn??n??m??ym? 线性方程组的矩阵形式 Ax?b 线性变换的矩阵形式 y?Ax 3.方阵的幂

An?n, k,l为正整数

1 A?A, Aklk?1?AkA(k?1,2,?)

k?lkl 算律：(1) AA?Akl

(2) (A)?A 4. 矩阵的转置

?a11?a21 A??????am1

a12a22?am2?a1n??a11?a?a2n??, AT??12???????amn??a1n33

a21?am1?a22?am2?? ????a2n?amn?