2020学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料
第8讲 空间几何体
一．【课标要求】
1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；
2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；
3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；
4．完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）；
二．【命题走向】
近几年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，解答题常常立足于棱柱、棱锥和正方体位置关系的证明和夹角距离的求解，而选择题、填空题又经常研究空间几何体的几何特征和体积表面积。因此复习时我们要首先掌握好空间几何体的空间结构特征。培养好空间想能力。
预测2020年高考对该讲的直接考察力度可能不大，但经常出一些创新型题目，具体预测如下：
（1）题目多出一些选择、填空题，经常出一些考察空间想象能力的试题；解答题的考察位置关系、夹角距离的载体使空间几何体，我们要想像的出其中的点线面间的位置关系；
（2）研究立体几何问题时要重视多面体的应用，才能发现隐含条件，利用隐蔽条件解题。
三．【要点精讲】
1．柱、锥、台、球的结构特征 （1）柱
棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
棱柱与圆柱统称为柱体； （2）锥
棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。
棱锥与圆锥统称为锥体
（3）台
棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。
圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴
圆台和棱台统称为台体。 （4）球
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。
（5）组合体
由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 2．空间几何体的三视图
三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。 他具体包括：
（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的高度和长度；
（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的长度和宽度； 3．空间几何体的直观图 （1）斜二测画法
①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；
’’’’0''②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的OX,OY,使?X'OY=45
0
（或135），它们确定的平面表示水平平面；
‘
③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且长度保
‘
持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；
④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。 （2）平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点
四．【典例解析】
题型1：空间几何体的构造
例1．9，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ） 答案 B
2. (2020湖南卷理)正方体ABCD—A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点
的个数为（C）
A．2 B．3 C. 4 D. 5
【答案】：C
【解析】解析如图示，则BC中点，B1点，D点，D1点分别到两异面直线的距离相等。即满足条件的点有四个，故选C项
（3）正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A1D1的距离为5，则点P的轨迹是[ ] A.圆
B.双曲线
C.两个点 D.直线
解析： 点P到A1D1的距离为5，则点P到AD的距离为1，满足此条件的P的轨迹是到直线AD的距离为1的两条平行直线，
又QPM?2，?满足此条件的P的轨迹是以M为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹只有两个交点.
故点P的轨迹是两个点。选项为C。
点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。
例2．（07江苏9）
两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体．．．面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个
解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D。
点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。 题型2：空间几何体的定义
例3．（2020四川卷理）如图，在半径为3的面上有A,B,C三点，?ABC?90,BA?BC，
?可与的
球心O到平面ABC的距离是
32，则B、C两点的球面距离是 2A.
4?? B.? C. D.2?33
【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距，基础题。（同文9） 解析：由知截面圆的半径
r?9?18322???BC??32?3，故?BOC?，所以B、C两点的球面距4223离为3??3??，故选择B。
解析2：过球心O作平面ABC的垂线交平面与D，?ABC,BA?BC，则D在直线AC上，
由于OD?323222，CD?OC?OD?，所以AC?32，由?ABC为等腰直角三
22角形可得BC?3，所以?OBC为等边三角形，则B,C两点的球面距离是
??3。 3例4．2020浙江卷文）设?,?是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（ ）A．若l??,???，则l?? B．若l//?,?//?，则l?? C．若l??,?//?，则l?? D．若l//?,???，则l??
【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系．
【解析】对于A、B、D均可能出现l//?，而对于C是正确的．
点评：对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。 题型3：空间几何体中的想象能力
例5．（2020北京卷理）（本小题共14分）
如图，在三棱锥P?ABC中，PA?底面ABC,PA?AB,?ABC?60,?BCA?90， 点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BC
（Ⅰ）求证：BC?平面PAC；
（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A?DE?P为直二面角？并说明理由.
【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力． （Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又?BCA?90，∴AC⊥BC.
???
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