包含与排除(一)

包含与排除(一)

包含与排除（一）

包含与排除问题也叫容斥原理。“容”是容纳、包含的意思，“斥”是排斥、排除的意思，从题目名称上看，比较抽象，下面我们结合具体实例来说明这种问题的思考方法。

【典型例题】

例1：如下图，桌面上放着两个正方形，求盖住桌面的面积。（单位：厘米）

7 5 2 分析与解：

这是一个组合图形，是由两个正方形组成的，中间重合部分是一个长方形，要想求出盖住桌面的面积，可以有三种不同方法： 方法一：7?5?2?5?64（平方厘米） 方法二：7?2?5?5?64（平方厘米） 方法三：5?2?5?7?64（平方厘米）

答：盖住桌面的面积是64平方厘米。

例2：四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？ 分析与解：

222222

根据题意可画图如下

乒 羽 37 21 26 ？人

此类问题画集合图比画线段图更直观，更形象一些。

方法一：37 + 26—21 = 42（人） 方法二：37—21 + 26 = 42（人） 方法三：37 +（26—21）= 42（人） 以上三种方法是紧密联系的，都是要从中减去重叠部分，可以从其中一部分中减去，再与另一部分合并，也可以从两部分之和中减去重叠部分。

三种方法比较，你喜欢哪一种解法呢？ 我们根据以上两个例题可以得出这样的数量关系：

第一部分 + 第二部分 — 重叠部分 = 两部分之和

例3：四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。两科都得“优”的有几人？ 分析与解：

根据“第一部分 + 第二部分 — 重叠部分

= 两部分之和”可以求出两科都得“优”的人数。 15 + 17—24 = 8（人） 另外，从下图中我们还能得出两种不同方法

语文 数学 15人 ？人 17人 24人

方法二：17—（24—15）= 8（人） 15—（24—17）= 8（人） 答：两科都得优的有8人。

例4：图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。这个班共有学生多少人？ 分析与解：

这个题与例2相比，多了一个已知条件，那就是“有5个人什么组都没参加”。如果按前面的画图方式，这5人无法在图上表示，根据题意，我们可以这样画图。

全班 5人 美术 音乐 24人 11人 18人 全班？人

要求全班有多少人，除了知道有5人什么组都没参加外，还要求出参加课外小组的有多少人。

24 + 18—11 = 31（人） 31 + 5 = 36（人）

答：这个班共有学生36人。

例5：某班学生参加音乐组的有11人，参加美术组的有8人，参加英语组的有12人，既参加音乐组又参加美术组的有5人，既参加音乐组又参加英语组的有3人，既参加美术组又参加英语组的有4人，三个组都参加的只有1人，问：至少参加一个组的有多少人？ 分析与解：

根据题意画图如下：

音乐 美术 11人 8人 12人 英语

如果我们把三个集合圈看成三张纸片，参加两个组的部分是2层，参加三个组的部分是3层，要求至少参加一个组的人数，就是求三张纸片盖住桌面的大小，因此要从三组人数之和中减去重叠部分的人数

11 + 8 + 12—5—3—4 + 1 = 20（人）

？人