2020-2021精选备战中考数学易错题专题复习圆的综合附答案

2020-2021精选备战中考数学易错题专题复习圆的综合附答案

一、圆的综合

1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．

（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；

AB的值． （2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】

（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；

（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接AD，OA，

∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°，

∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC，

∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线． （2）连接AD，BD，

∵CD是直径， ∴∠DBC=90°，

∵CD=4，B为弧CD中点， ∴BD=BC=

，

∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°， 即∠BDE=∠DAB， ∵∠DBE=∠DBA， ∴△DBE∽△ABD， ∴

，

．

∴BE?AB=BD?BD=

考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．

2．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC． （1）若∠G=48°，求∠ACB的度数； （2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；

（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若tan∠CAF=

S11，求的值．

S22

【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）

3 4【解析】 【分析】

（1）连接CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；

（2）先根据等腰三角形的性质得：∠ABE=∠AEB，再证明∠BCG=∠DAC，可得

??PB??PD? ，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结CD论；

（3）过O作OG⊥AB于G，证明△COF≌△OAG，则OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，则a=论． 【详解】 （1）连接CD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°， ∴∠ACB+∠BCD=90°， ∵AD⊥CG，

∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°， ∵∠BAD=∠BCD， ∴∠ACB=∠G=48°； （2）∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB，

∵∠ABC=∠G+∠BCG，∠AEB=∠ACB+∠DAC， 由（1）得：∠G=∠ACB， ∴∠BCG=∠DAC，

3x，代入面积公式可得结4??PB?， ∴CD∵AD是⊙O的直径，AD⊥PC，

??PD?， ∴CD??PB??PD?， ∴CD∴∠BAD=2∠DAC， ∵∠COF=2∠DAC， ∴∠BAD=∠COF；

（3）过O作OG⊥AB于G，设CF=x， ∵tan∠CAF=∴AF=2x，

∵OC=OA，由（2）得：∠COF=∠OAG， ∵∠OFC=∠AGO=90°， ∴△COF≌△OAG，

1CF= ， 2AF∴OG=CF=x，AG=OF， 设OF=a，则OA=OC=2x﹣a， Rt△COF中，CO2=CF2+OF2， ∴（2x﹣a）2=x2+a2， a=

3x， 43x， 43x， 2∴OF=AG=

∵OA=OB，OG⊥AB， ∴AB=2AG=

13AB·OGx·xS1232???． ∴

S21CF·2x4AFx·2

【点睛】

圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出∠ACB+∠BCD=90°；

??PB??PD?；（3）利用三角函数设未知数，根（2）根据外角的性质和圆的性质得：CD据勾股定理列方程解决问题．

3．已知?ABCD的周长为26，∠ABC=120°，BD为一条对角线，⊙O内切于△ABD，E，F，G为切点，已知⊙O的半径为3．求?ABCD的面积． 【答案】203 【解析】 【分析】

首先利用三边及⊙O的半径表示出平行四边形的面积，再根据题意求出AB+AD=13，然后利用切线的性质求出BD的长即可解答. 【详解】

设⊙O分别切△ABD的边AD、AB、BD于点G、E、F； 平行四边形ABCD的面积为S；

1(AB·OE+BD·OF+AD·OG)=3（AB+AD+BD）； 2∵平行四边形ABCD的周长为26， ∴AB+AD=13，

则S=2S△ABD=2×

∴S=3(13+BD)；连接OA； 由题意得：∠OAE=30°，

∴AG=AE=3；同理可证DF=DG，BF=BE； ∴DF+BF=DG+BE=13﹣3﹣3=7， 即BD=7，

∴S=3（13+7）=203．

即平行四边形ABCD的面积为203．

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．过点D作DF⊥AC，垂足为F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；

?的长． （2）若AB＝4，∠C＝30°，求劣弧BE【答案】（1）证明见解析（2）【解析】

分析：（1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°，然后根据等腰三角形的性质求出BD=CD，再根据中位线的性质求出OD⊥DF，进而根据切线的判定证明即可；

（2）连接OE，根据三角形的外角求出∠BAE的度数，然后根据圆周角定理求出∠BOE的度数，根据弧长公式求解即可.

详解：（1）连接AD、OD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°． ∵AB＝AC，∴BD＝CD，

又∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC， ∵DF⊥AC，∴OD⊥DF

即∠ODF＝90°．∴DF为⊙O的切线；

4? 3