2016建平中学自主招生数学真题(附详解)

2016建平中学自主招生数学真题（附详解）

1、如图，在平面直角坐标系中有

。

（1）求（2）将△在某反比例函

数图像上。请求出这个反比例函数和此时的直线（3）在（2）的条件下，直线

数图像上的点

，使得四边形

交

轴于点

的解析式；

轴上的点

和反比例函

和点

的值；

沿

轴的正方向平移，在第一象限内

两点的对应点

正好落

△

，

，

，

、

、

。问是否存在

是平行四边形。如果存在，请求出点

的坐标；如果不存在，请说明理由。

yGCBNA

yGC'B'A'xAOCBA'C'B'x

OyP'GCKQEBM'AOHFA'xC'B'

【答案】解：（1）作∵∴

轴于点, ∴

。在

≌

，又∵点

在第二象限，∴

和

中， 。

。

1 / 4

（2）设反比例函数为设把点

和，则

，点。

和在该比例函数图像上，

的坐标分别代入，得。

∴设直线

则的解析式为

。∴反比例函数解析式为

，把

、

。得点；。

两点坐标代入

得，解得。∴直线的解析式为。

（3）设是的中点，由，得点，∴点

的横坐标为，又因为点

，∴。

（解法改进下，由中点公式可得上，所以点

在反比例函数图像

)

过点作直线与轴交于点，与的图象交于点，若四边形是平

行四边形，则有作，则

.

设

，则点轴于点

，

，易知点

轴于点

的横坐标大于

与

，点交于点

的横坐标小于，作

。 轴于点

的横坐标，点的纵坐标为，

点的坐标是。∴。

由,得,∴，

整理得：，解得（经检验，它是分式方程的解）。

2 / 4

∴，，。

∴点

2、（1）如图1，求证：

,则点为所求的点，点为所求的点.

；

，延长到，使得

，请你探究线段与线段

，连接．

之间的数量关系．写

（2）延长到，使得

①如图2，连接，若

出你的结论，并加以证明； ②请在图3中证明：

．

证明：（1）延长∵∴

至

，使得

，连接

；

；∴四边形是平行四边形； ；在中，；

∴

（2）①答：

；即

．

证明：过∴

作

,交；∵

3 / 4

于

，连接

，

；

∴∴∴∴∵点是

是等边三角形，

；

是等边三角形；

；∴四边形

的中点，∴点是四边形

， ∴

是平行四边形； 对角线

的交点，

∴点共线，∴

可证

；

∴

；

① 证明：分两种情况：

ⅰ）当

时，∴

；∴

ⅱ）当时，以为一组邻边作平行四边形

∴

，

，

∵；∴；∴；

在

中，

；∴

，即

；综上所述，．

4 / 4

；

（如图）