课时达标检测（四十七） 直线与圆锥曲线
[小题常考题点——准解快解]
bx2y2
1．直线y＝x＋3与双曲线2－2＝1的交点个数是( )
aabA．1 C．1或2
B．2 D．0
bb
解析：选A 因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有
aa1个交点．
―→
2．已知直线y＝22(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点M(－1，m)，若MA―→―→MA·MB＝0，则m＝( )
A.2 1
C. 2
B.2 2
D．0
?y＝22?x－1?，1―→―→
，－2?，解析：选B 由?2得A(2,22)，B?又∵M(－1，m)且MA·MB?2??y＝4x，
＝0，∴2m2－22m＋1＝0，解得m＝
2
. 2
x22
3．斜率为1的直线l与椭圆＋y＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
4A．2 410C. 5
45B. 5810D.
5
解析：选C 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，x??4＋y2＝1，4?t2－1?822由?消去y，得5x＋8tx＋4(t－1)＝0.则x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴|AB|
55
??y＝x＋t＝
1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·?x1＋x2?2－4x1x2＝2·
2
?－8t?2－4×4?t－1?＝42·5－t2，
?5?55
2
故当t＝0时，|AB|max＝
410
. 5
x2y2
4．已知双曲线2－2＝1(a>0，b＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，
ab1若抛物线y＝ax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则m
2的值为( )
3A. 2C．2
5B. 2D．3
解析：选A 由双曲线的定义知2a＝4，得a＝2，所以抛物线的方程为y＝2x2.因为点
2
A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝2x2上，所以y1＝2x21，y2＝2x2，两式相减得y1－y2＝2(x1
y1－y2－x2)(x1＋x2)，不妨设x1＜x2，又A，B关于直线y＝x＋m对称，所以＝－1，故x1
x1－x2111
＋x2＝－，而x1x2＝－，解得x1＝－1，x2＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为M(x0，
222
2x1＋x2y1＋y22x2151＋2x2
y0)，则x0＝＝－，y0＝＝＝，因为中点M在直线y＝x＋m上，所以
24224
513
＝－＋m，解得m＝. 442
5．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为________．
?y＝3x＋1，
解析：直线l的方程为y＝3x＋1，由?2得y2－14y＋1＝0.设A(x1，y1)，
?x＝4y，
B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.
答案：16
x2y2
6．设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则
ab双曲线的离心率为________．
b??y＝ax，x2y2b
解析：双曲线2－2＝1的一条渐近线为y＝ax，由方程组?ab
??y＝x2＋1，a2＋b2b?2bbc?－ax＋1＝0有唯一解，所以Δ＝?a?－4＝0，所以e＝a＝a＝ a＝2，
答案：5
7．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，―→―→
B两点．若MA·MB＝0，则k＝________.
解析：如图所示，设F为焦点，易知F(2，0)，取AB的中点P，―→―→过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为G，H，连接MF，MP，由MA·MB111
＝0，知MA⊥MB，则|MP|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AG|＋|BH|)，所
222以MP为直角梯形BHGA的中位线，所以MP∥AG∥BH，由|MP|＝|AP|，
得∠GAM＝∠AMP＝∠MAP，又|AG|＝|AF|，AM为公共边，所以△AMG≌△AMF，所以
消去y，得x2
b?2
1＋??a?＝5.
∠AFM＝∠AGM＝90°，则MF⊥AB，所以k＝－
答案：2
1kMF
＝2.
[大题常考题点——稳解全解]
x2y26
1．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2,0)，离心率为.
ab3过点F2的直线l(斜率不为0)与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．
??c6
解：(1)由题意可知?＝，a3??a＝b＋c，
2
2
2
c＝2，
解得a＝6，b＝2.
x2y2
故椭圆C的方程为＋＝1.
62
(2)由题意可知直线l的斜率存在．设其方程为y＝k(x－2)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，xy??6＋2＝1，
M(x3，y3)，N(－x3，－y3)，由?得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0，所以x1＋
??y＝k?x－2?－2k?－4k6k212k2?，x2＝，则y＋y＝k(x＋x－4)＝，所以AB的中点D的坐标为??，1212
1＋3k21＋3k2?1＋3k21＋3k2?x＋3ky＝0，??2因此直线OD的方程为x＋3ky＝0(k≠0)．由?x2y2解得y2，x＝－3ky3.3＝1＋3k23＋＝1??62因为四边形MF1NF2为矩形，所以F2M―→·F2N―→＝0，即(x3－2，y3)·(－x3－2，－y3)＝0，所以
2
4－x23－y3＝0.所以
2
2
2?9k2＋1?3
4－＝0.解得k＝±.故直线l的方程为3x－3y－23＝0231＋3k
或3x＋3y－23＝0.
1
2．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其一个顶点是抛物线x2＝
2－43y的焦点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标．
x2y2
解：(1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab
c1由题意得b＝3，＝，解得a＝2，c＝1.
a2x2y2
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
43
(2)因为过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，故可设xy??4＋3＝1，
直线l的方程为y＝k(x－2)＋1(k≠0)．由?
??y＝k?x－2?＋1，
得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.① 因为直线l与椭圆C相切，
所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0， 1
整理，得96(2k＋1)＝0，解得k＝－.
2
11所以直线l的方程为y＝－(x－2)＋1＝－x＋2.
22
31
1，?. 将k＝－代入①式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为??2?23．已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于A，B两点，直线l2：x＝－2交x轴于点Q.
(1)设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值；
―→―→
(2)点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l2于M，N两点，OM·ON＝2，求抛物线C的方程．
??x＝my＋2，解：(1)设直线l1的方程为x＝my＋2，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程?2
??y＝2px，
2
2
得y2－2pmy－4p＝0，
则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－4p. k1＋k2＝＝
y1y2y1y2
＋＝＋ x1＋2x2＋2my1＋4my2＋4
2my1y2＋4?y1＋y2?－8mp＋8mp
＝＝0.
?my1＋4??my2＋4??my1＋4??my2＋4?
y1－y0
(2)设点P(x0，y0)，直线PA：y－y1＝(x－x1)，
x1－x0当x＝－2时，yM＝
－4p＋y1y0－4p＋y2y0
，同理yN＝.
y1＋y0y2＋y0
―→―→
因为OM·ON＝2，所以4＋yNyM＝2，
－4p＋y2y0－4p＋y1y016p2－4py0?y2＋y1?＋y20y1y2即·＝
y2＋y0y1＋y0y2y1＋y0?y2＋y1?＋y20
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