被积函数x为x的奇函数，所以
ò??xdS?0.
?又因?关于x,y,z轮换对称，所以
乙??xdS?????ydS????zdS,
?那么
乙??ydS??13???x??y?z?dS?1dS，由曲面积分的几何意义，òdS为曲面的表面积，所以?????3??乙??ydS??131dS????的面积?. ??3?而?为8块同样的等边三角形，每块等边三角形的边长为2，所以
1?的面积?8?2所以
??2sin2?3?43.
乙??(x?y)dS?????14ydS??43?3
33?0?0?（15）设矩阵A??0??0【答案】1
【考点】矩阵的秩 【难易度】★★ 【详解】解析：
100??010?,则A3的秩为＿＿＿＿＿
001??000??0?02A???0??0100??0??010??0001??0??000??0100??0??010??0???0001??000??0010??001? ?000?000?00?1??000?
000??000??0?032?A?A?A??0??0010??0??001??0000??0??000??0100??0??010??0?001??0??000??0由阶梯矩阵的行秩等于列秩，其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数，知rA (16) 在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于【答案】. 【考点】几何型概率 【难易度】★★
???1.
31的概率为＿＿＿＿＿＿ 234【详解】解析：不妨假定随机地抽出两个数分别为X和Y，它们应是相互独立的.如果把看成平面（X,Y）上一个点的坐标，则由于0?X?1,0?Y?1,所以为平面上正方形： （X,Y）10?X?1,0?Y?1中的一个点. X和Y两个数之差的绝对值小于对应于正方形中
21X?Y?的区域.
2y 1 1 2D 1 2O 1 x
所有可能随机在区间(0,1)中随机取的两个数X,Y，可以被看成上图中单位正方形里的点.X?Y?区域就是正方形中阴影的面积D.根据几何概率的定义：
1的2?1?1???1?D的面积32?P?X?Y???????.
2?单位正方形面积14?三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤. （17）（本题满分10分）
22 求函数f(x,y)?x?2y?xy,在区域D?(x,y)x?y?4,y?0上的最大值和最小值.
22222??【考点】多元函数的最大值、最小值 【难易度】★★★
【详解】解析：先求D的内部驻点，由
?f??2x?2xy2?0?x， ?2???fy?4y?2xy?0解得函数f(x,y)在D内的驻点为(?2,1)，相应的函数值为
f(?2,1)?(?2)2?2g12?(?2)2g12?2
再考虑在D的边界y?0,(?2?x?2)上的f(x,y).
即f(x,0)?x,(?2?x?2)，易知函数f(x,y)在此边界上的最大值为f(?2,0)?4，最小值为
2f(0,0)?0.
考虑在D的边界x?y?4,(y?0)上的f(x,y)，所以y?224?x2
令 h(x)?f(x,4?x2)?x2?2(4?x2)?x2(4?x2)?x4?5x2?8,?2?x?2
3由h?(x)?4x?10x?0得x1?0,x2??55,x3?，其中x1,x2,x3???2,2?， 22所以函数h(x)在相应点处的函数值为
h(0)?f(0,2)?04?5g02?8?8
h(?553557)?f(?,)?(?)4?5(?)2?8? 222224553557)?f(,)?()4?5()2?8? 222224h(综上可知函数在D上的最大值为f(0,2)?8，最小值为f(0,0)?0.
（18）（本题满分11分）
y2(0?z?1)的上侧. 计算曲面积分 I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy, 其中?为曲面z?1?x?4?2【考点】第二类曲面积分的计算
【难易度】★★★★
【详解】解析：解法一：增加一个曲面使之成为闭合曲面，从而利用高斯公式，
y2?1，取下侧，有 补充曲面片S:z?0,x?42I???S??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy
S??S根据高斯公式， ?1??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy????(z?2z)dv
?1x?y2?1?z42?3zdz??0dxdy??6?z(1?z)dz??
01??y2??2?1?z,0?z?1?， 其中 ???(x,y,z)x?4????又
??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy????S3xydxdy
1x2?y2?14由函数奇偶性可知
1x2?y2?14??3xydxdy?0
从而I???0??
解法二：曲面?在xOy上的投影记为Dxy，由于曲面?的正向法向量为
r1?n?(?z?,?z,1)?(2x,y,1)，所以 xy2r I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy???(X,Y,Z)gndxdy
?Dxy ?1x2?y2?14??[2x2(1?x2?121y)?y2(1?x2?y2)?3xy]dxdy 44令??x?rcos?,0???2?,0?r?1，则
?y?rsin? I??2?0d??[2r2(1?r2)cos2??2r2(1?r2)sin2??6r2cos?sin?]2rdr
01 ?12?gr(1?r)dr??
0?132解法三：记曲面?在三个坐标平面上的投影分别为Dxy,Dyz,Dzx，则利用函数奇偶性有，
??3xydxdy???3xydxdy?0
?Dxy1?21?zy2y2xzdydz?2??z1?z?dydz?2?zdz?1?z?dy ??0?21?z44?Dyz??z[2(1?z)?]dz?01?3
11?z??2zydzdx?8??z?Dzx1?z?xdzdx?8?zdz?02?1?z1?z?x2dx
?4?所以 I??10z(1?z)dz?2? 3??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy???3?2??0?? 3
（19）（本题满分11分）
设函数f(x)，g(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)＝g(a)，
f(b)＝g(b)，证明：存在??(a,b),使得f''(?)?g''(?).
【考点】零点定理、罗尔定理 【难易度】★★★★
【详解】解析：命?(x)?f(x)?g(x)，由题设f(x),g(x)存在相等的最大值，设
x1?(a,b)，x2?(a,b)使f(x1)?maxf(x)?g(x2)?maxg(x)
[a.b][a.b]于是 ?(x1)?f(x1)?g(x1)?0,?(x2)?f(x2)?g(x2)?0
若?(x1)?0，则取??x1?(a,b)有?(?)?0. 若?(x2)?0，则取??x2?(a,b)有?(?)?0.
若?(x1)?0,?(x2)?0，则由连续函数介值定理知，存在??(x1,x2)使?(?)?0.
不论以上哪种情况，总存在??(a,b),使?(?)?0。
再由 ???(a)?f(a)?g(a)?0,
??(b)?f(b)?g(b)?0将?(x)在区间[a,?],[?,b]分别用罗尔定理知，存在?1?(a,?),?2?(?,b),使得??(?1)＝0,??(?2)?0 再由罗尔定理知，存在??(?1,?2)，使???(?)?0.即有f??(?)?g??(?).
（20）（本题满分10分）
设幂级数
?axnn?0?n在(??,??)内收敛，其和函数y(x)满足y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1
（Ⅰ）证明an?2?2an,n?1,2,L n?1（Ⅱ）求y(x)的表达式
【考点】幂级数的和函数，幂级数和函数逐项求导 【难易度】★★★★★
【详解】解析：（Ⅰ）证法一：对y????axnn?0?n，求一阶和二阶导数，得
y???naxnn?1n?1,y????n(n?1)anxn?2,
n?2代入y???2xy??4y?0，得
?n(n?1)axnn?2?n?2?2x?nanxn?1?n?1?4?anxn?0
n?0?
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