常微分方程练习题及答案（复习题）

常微分方程练习试卷

一、

填空题。

d2x?1?0是 阶 （线性、非线性）微分方程. 1. 方程xdt232. 方程

xdy?f(xy)经变换_______，可以化为变量分离方程 .

ydxd3y?y2?x?0满足条件y(0)?1,y?(0)?2的解有 个. 3. 微分方程

3dx4. 设常系数方程

*2xxxy????y???y??ex的一个特解y(x)?e?e?xe，则此方程的系数?? ，?? ，?? .

5. 朗斯基行列式

W(t)?0是函数组x1(t),x2(t),L,xn(t)在a?x?b上线性相关的

条件.

6. 方程

xydx?(2x2?3y2?20)dy?0的只与y有关的积分因子为 .

X??A(t)X的基解矩阵为?(t)的，则A(t)? .

7. 已知

8. 方程组

?20?x'??x的基解矩阵为 ．

??05?9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.

10 .是满足方程

y????2y???5y??y?1 和初始条件 的唯一解.

11.方程 的待定特解可取 的形式:

12. 三阶常系数齐线性方程

y????2y???y?0的特征根是

二、

计算题

1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.

dyx?y?1?2．求解方程.

dxx?y?33. 求解方程

d2xdxx2?()2?0dtdt 。

4．用比较系数法解方程. .

5．求方程

y??y?sinx的通解.

6．验证微分方程

(cosxsinx?xy2)dx?y(1?x2)dy?0是恰当方程，并求出它的通解.

的一个基解基解矩阵

7．设

?1???31?dX ， ?? ，试求方程组?AXA?????dt?2?4???1??(t)，求

dX?AXdt满足初始条件

x(0)??的解.

8. 求方程

dy?2x?1?3y2dx 通过点

(1,0) 的第二次近似解.

的通解

9.

求

dy3dy()?4xy?8y2?0dxdx10.若

?21?A????14??试求方程组

?1?x??Ax?(t),?(0)??????,的解

??2? 并求expAt

三、证明题

1. 若

?(t),?(t)是X??A(t)X的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C，使得?(t)??(t)C.

2. 设

?(x)(??x0,x??)是积分方程

y(x)?y0??[?2y(?)??]d?,x0xx0,x?[?,?]

的皮卡逐步逼近函数序列

{?n(x)}在[?,?]上一致收敛所得的解，而?(x)是这积分方程在[?,?]上的连续解，试用逐步逼近法证明：在[?,?]上?(x)??(x).

3. 设 且

解组. 试证明:

(i)

函数值与导函数值不能在一点同时为零);

都是区间 是二阶线性方程和 上的连续函数,

的一个基本

都只能有简单零点(即