常微分方程练习题及答案（复习题）

解：特征方程为 对应齐方程的通解为 设原方程的特解有形如, 特征根为. .

代如原方程可得利用对应系数相等可得

, 故.

原方程的通解可以表示为( 是任意常数)

.

5.求方程

y??y?sinx的通解.

解：先解

y??y得通解为y?cex, 令y?c(x)ex为原方程的解，

代入得

c?(x)ex?c(x)ex?c(x)ex?sinx, 即有c?(x)?e?xsinx,

积分得

11c(x)??e?x(sinx?cosx)?c , 所以y?cex?(sinx?cosx) 为原方程的通解.

22

6．验证微分方程

(cosxsinx?xy2)dx?y(1?x2)dy?0是恰当方程，并求出它的通解.

?M?N??2xy??y?x所以原方程为恰当方程.

解：由于

M(x,y)?cosxsinx?xy2,N(x,y)?y(1?x2)，因为

cosxsinxdx?(xy2dx?yx2dy)?ydy?0,

把原方程分项组合得

或写成

111d(sin2x)?d(x2y2)?d(y2)?0, 故原方程的通解为sin2x?x2y2?y2?C.

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7．设

?1???31?dX ， ?? ，试求方程组?AXA?????dt?2?4???1?det(A??E)??3??21?4??的一个基解基解矩阵

?(t)，求

dX?AXdt满足初始条件

x(0)??的解.

解：特征方程为

?(??2)(??5)?0,

求得特征值

?1??1??1??2,?2??5,对应?1??2,?2??5的特征向量分别为V1????,V2????,(?,??0).

?1???2??e?2t可得一个基解矩阵?(t)???2t?ee?5t?1?21??1.，又因为?(0)???3??2e?5t? ?1?1??1 ，

1?e?2t(0)????2t于是，所求的解为?(t)??(t)?3?e

e?5t??21??1?1?e?2t?2e?5t???? ??? ???2e?5t??1?1???1?3?e?2t?4e?5t?8. 求方程

dy?2x?1?3y2dx 通过点

(1,0) 的第二次近似解.

解: 令

?0(x)?0，于是

?1(x)?y0??[2x?1?3?02(x)]dx?x2?x,

1x?2(x)?y0??[2x?1?3?12(x)]dx?1 9.

求 x133?x?x2?x3?x4?x5, 1025的通解

(dy3dy)?4xy?8y2?0dxdx3?dy?2???8ydxx???dy4ydx解：方程可化为

，

p3?8y2dy?px?4yp令dx则有

（*），

2y(p3?4y2)（*）两边对y求导得

dp?p(8y2?p3)?4y2pdy，

1dpdpp2(p?4y)(2y?p)?02y?p?0y?()2p?cydydyc.即，由得，即

32

c22px??24c， 将y代入（*）得

?c22px??2??4c??y?(p)2?c?即方程的 含参数形式的通解为：，p为参数；

32p?4y?0得p又由

1?(4y2)3y?代入（*）得

43x27也是方程的解 .