常微分方程练习题及答案（复习题）

10.若 试求方程组

解：特征方程

?1?x??Ax?(t),?(0)?????21?expAt

???,A???2???14????2?1p(?)???2?6??9?0?1,2?31??4n1?2的解

并求

，解得

，此时 k=1,

。

1it??1?3t?i???1?3t??1?t(??1??2)??????v?(t)?e??(A?3E)????e?????t(????)i!??212??2??i?0??2?，

由公式

te?(A??E)ii?0i!expAt=

?t3tn?1i

得

??10???11??3t?1?tt?expAt?e?E?t(A?3E)??e???t???e????01?11?t1?t????????3t

三、证明题

1. 若

?(t),?(t)是X??A(t)X的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C，使得?(t)??(t)C.

证：

?(t)是基解矩阵，故??1(t)存在，令X(t)???1(t)?(t) ， X(t)可微且detX(t)?0，易知?(t)??(t)X(t).

则

所以

??(t)???(t)X(t)??(t)X?(t)?A(t)?(t)X(t)??(t)X?(t)?A(t)?(t)??(t)X?(t) 而

??(t)?A(t)?(t)，所以?(t)X?(t)?0,

，故?(t)??(t)C . X?(t)?0,X(t)?C（常数矩阵）

2. 设

?(x)(??x0,x??)是积分方程

y(x)?y0??[?2y(?)??]d?,x0xx0,x?[?,?]

的皮卡逐步逼近函数序列

{?n(x)}在[?,?]上一致收敛所得的解，而?(x)是这积分方程在[?,?]上的连续解，试用逐步逼近法证明：在[?,?]上?(x)??(x).

x证明：由题设，有

?(x)?y0??[?2?(?)??]d?,

x0x?0(x)?y0,?n(x)?y0??[?2?n?1(?)??]d?,x0,x?[?,?]，(n?1,2,?).

x0 下面只就区间

x0?x??上讨论，对于??x?x0的讨论完全一样。

x因为

|?(x)??0(x)|??(?2|?(?)|?|?|)d??M(x?x0), 其中M?max{x2|?(x)|?|x|}，

x0x?[?,?]xx2所以

|?(x)??1(x)|??(?|?(?)??0(?)|)d??L?M(??x0)d??x0x0ML(x?x0)2, 2!MLn?1其中L?max{x}, 设对正整数n有|?(x)??(x?x0)n,则有

n?1(x)|?x?[?,?]n!2x

|?(x)??n(x)|??(?|?(?)??n?1(?2MLn?1MLnn(??x0)d??(x?x0)n?1,)|)d? ?L?x x0故由归纳法，对一切正整数

k，有

MLk?1MLk?1|?(x)??kk?1(x)|?(x?x0)?(???)kk!k!.

而上不等式的右边是收敛的正项级数的通项，故当

k??时，它

?0,

因而函数序列

{?n(x)}在x0?x??上一致收敛于?(x).根据极限的唯一性, 即得

?(x)??(x), x0?x?? .

x0n!(n?1)!,

3. 设 且

解组. 试证明:

(i)

函数值与导函数值不能在一点同时为零);

都是区间 是二阶线性方程和 上的连续函数,

的一个基本

都只能有简单零点(即

(ii) (iii) 证明:和和和 没有共同的零点;

没有共同的零点.

的伏朗斯基行列式为