→
解:??(??)=?????=2cosx?cosx?√??sin2x=???????????√????????????+??=????????(????+3)+??,
→
??
令????+3∈[??????,??+??????],??∈??,则??∈[?????6,????+3],??∈??, 故选:C.
10.若数列{an}的前n项和为Sn,满足3an+1=3an+2,a1=,则{}的前20项和为( )
????
??????
231
A.
1
420
B.
1140
C.
2021
D.
207
1????
【分析】先由题设条件得到数列{an}是等差数列,再求其前n项和Sn,进而求利用裂项相消法求其前20项和即可. 解:∵3an+1=3an+2, ∴a
??+??
,然后=????+,即an+1﹣an=,
23
2323∴数列{an}是首项、公差均为的等差数列, ∴Sn=??+
31
??
2
311??(???1)2??(??+1)1
=??(?). ,=×=233??????(??+1)????+1
11
12
12
13
13
14
120
所以{??}的前20项和为3[(?)+(?)+(?)+…+(=
20
. 7?
121
)]=3(1?
1)21故选:D.
11.三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=1,PA=√??,则该三棱锥外接球的表面积为( ) A.5π
B.√????
C.20π
D.4π
【分析】根据题意,证出BC⊥平面PAC,PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径.利用勾
√
股定理结合题中数据算出PB=√??,得外接球半径R=5,从而得到所求外接球的表面2积
解:PA⊥平面ABC,AC⊥BC,
∴BC⊥平面PAC,PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径; ∵Rt△PBA中,AB=√??,PA=√?? √1
∴PB=√??,可得外接球半径R=PB=5 22∴外接球的表面积S=4πR2=5π 故选:A.
x2=4y的准线上任意一点P作抛物线的切线PA,PB,B,12.过抛物线C:切点分别为A,则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是( ) A.7
B.6
C.5
D.4
【分析】首先证明AB横过抛物线焦点,再利用当AB为通径时最小即可. 解:设抛物线C:x2=4y的准线上任意一点P(m,﹣1).
点P作抛物线的切线PA,PB,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2) x2=4y???=????,??′=??, 42∴切线PA,PB方程分别为x1x=2(y+y1),x2x=2(y+y2). ????=??(???????)
∴{???直线AB的方程为mx=2(y﹣1). ??????=??(???????)故直线AB过定点(0,1),(即AB恒过抛物线焦点) 则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和为AB, 当AB为通径时最小,最小值是2p=4. 故选:D.
二、填空题(本大题共4小题,共20分)
???????≥??
13.已知实数x,y满足不等式组{??+???????≥??,则z=2x﹣y的最大值为 6 .
?????≤??【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值.
???????≥??
解:作出实数x,y满足不等式组{??+???????≥??对应的平面区域如图:(阴影部分).
?????≤??由z=2x﹣y得y=2x﹣z,
平移直线y=2x﹣z,由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A(3,0)时,直线y=2x﹣z的截距最小,此时z最大.
1
1
代入目标函数z=2x﹣y,
得z=6.即z=2x﹣y的最大值为6. 故答案为:6.
14.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著的,书中有如下问题:“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积V=×(底面的圆周长的平方12×高),则该问题中圆周率π的取值为 3 (注:一丈等于十尺).
【分析】由题意,圆柱体底面的圆周长48尺,高11尺,利用圆堡瑽(圆柱体)的体积V=
1
×(底面的圆周长的平方×高),求出V,再建立方程组,即可求出圆周率π的121
取值.
解:由题意,圆柱体底面的圆周长48尺,高11尺, ∵圆堡瑽(圆柱体)的体积V=∴V=
1
×(底面的圆周长的平方×高), 121
×(482×11)=2112, 12??????=????
∴{??
????×????=????????∴π=3,R=8, 故答案为:3. 15.若双曲线
??2??2?
??2??2=1(a>0,b>0)的两条渐近线斜率分别为k1,k2,若k1k2=﹣3,
则该双曲线的离心率为 2 .
【分析】由题可知,双曲线的渐近线方程为??=±??,所以k1k2=???=?3,而离心率
2??????
2
??
??=√??+2,从而得解.
??
2
解:双曲线的渐近线方程为??=±??,
??2??2??∴k1k2=?=?3,即=??, ??2??22∴离心率??=√??=√??+??=√??+??=??.
??2??22
??
故答案为:2.
?????????+??,??≤??
16.已知函数f(x)={,若函数g(x)=f2(x)﹣3f(x)+2有且仅
??????????,??>??有三个零点,则实数a的取值范围是 (1,2] .
【分析】函数g(x)有且仅有3个零点可转化为函数f(x)图象与直线y=1和y=2有且仅有3个交点,作出f(x)的图象示意图,数形结合即可
解:令g(x)=0,得f2(x)﹣3f(x)+2=0,即有f(x)=1,f(x)=2, 则函数g(x)有且仅有3个零点可转化为函数f(x)图象与直线y=1和y=2有且仅有3个交点,
作出函数f(x)的示意图如图:
由图可知,
当x>0时,y=log2x的图象与直线y=1、y=2各有一个交点,故要想满足条件, 只需x≤0时,y=x2﹣3x+a与y=1、y=2有且仅有1个交点, 因为当x=0时,y=a,
由图可知只有当1<a≤2时满足题意, 故答案为:(1,2].
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