三、解答题（本大题共5小题，共70分）
17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝1． （1）求证：PA⊥BD；
（2）若PC与底面ABCD所成的角为45°，求点D到平面PBC的距离．
【分析】（1）由已知求解三角形证明AD⊥BD．再由已知可得PD⊥BD，利用直线与平面垂直的判定可得BD⊥平面PAD，从而得到PA⊥BD；
（2）设点D到平面PBC的距离为h，由（1）知，BC⊥BD，求得三角形BCD的面积，进一步求得三棱锥P﹣BCD的体积，再求出三角形BCP的面积，由VP﹣BCD＝VD﹣BCP，可得点D到平面PBC的距离h．
【解答】（1）证明：∵AD＝1，AB＝2，∠DAB＝60°， ∴BD2＝AB2+AD2﹣2AB?AD?cos60°，得BD=√??． ∴AD2+BD2＝AB2，则AD⊥BD． ∵PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴PD⊥BD，
又AD∩PD＝D，∴BD⊥平面PAD， ∵PA?平面PAD， ∴PA⊥BD；
（2）解：设点D到平面PBC的距离为h，由（1）知，BC⊥BD，
√
∴??△??????=1????×????=3．
22∵PD⊥平面ABCD，∴∠PCD是PC与底面ABCD所成角． ∴∠PCD＝45°，得PD＝PC＝2．
√√
∴???????????=1×3×??=3．
323∵PC=√??????=??√??，PB=√??????+??????=√????+(√??)??=√??，BC＝1． ∴PB2+BC2＝PC2，即PB⊥BC．
√
∴??△??????=1?????????=7．
22√√
∴???????????=1×7??=7??．
326又VP﹣BCD＝VD﹣BCP，∴
√√7?√3，解得h=221． =763
221即点D到平面PBC的距离为√．
7
18．a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知a（sinA+4sinB）＝8sinA． （1）若b＝1，A=6，求sinB；
（2）已知C=3，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC的周长． 【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果． （2）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用和基本不等式的应用求出结果． 解：（1）由于b＝1，A=6，
所以a（sinA+4sinB）＝8sinA 转换为a（sinA+4sinB）＝8bsinA， 利用正弦定理sin2A+4sinAsinB＝8sinAsinB， 整理得????????6=?????????6?????????， 解得????????=．
（2）利用正弦定理a（sinA+4sinB）＝8sinA，转化为a2+4ab＝8a， 所以a+4b＝8，利用基本不等式??=??+????≥?????√????=??√????， 解得ab≤4，
即a＝4b时，??△??????=????????????=√??，
2解得b＝1，a＝4，
1
18??
????
??
??
所以c2＝a2+b2﹣2abcosC＝1+16﹣4＝13， 解得c=√???? 所以??△??????=??+??+??=??+??+√????=??+√????．
19．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名，为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”[50，60）[60，和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方
图．
（1）根据“25周岁以上（含25周岁）组”的频率分布直方图，求25周岁以上（含25周岁）组工人日平均生产件数的中位数的估计值（四舍五入保留整数）；
（2）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（3）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
??(?????????)
附：??=(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)
??
2
25周岁以上（含25
周岁）组 25周岁以下组
合计
P（K2≥k）
k
生产能手
非生产能手
合计
0.100 2.706
0.050 3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
【分析】（1）由（0.005+0.035）×10+（x﹣70）×0.035＝0.5计算中位数； （2）列出所有基本事件，由古典概型可得答案， （3）完成列联表，再利用公式K2=
??(?????????)求值，从而查表可得； (??+??)(??+??)(??+??)(??+??)2
解：（1）根据“25周岁以上（含25周岁）组”的频率分布直方图，设25周岁以上（含25周岁）组工人日平均生产件数的中位数为x； （0.005+0.035）×10+（x﹣70）×0.035＝0.5； 解得：x≈70+3＝73；
（2）由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名， 25周岁以上组工人有60×0.05＝（3人）所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2（人）， 记为B1，B2，从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种，
他们是：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），
（A，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）．
B1）其中，至少有一名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是（A1，，（A1，B2），
（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）． 故所求的概率为：P=
7
； 10（3）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能 手有：60×0.25＝15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15（人），据此可得2×2列联表如下：
25周岁以上（含25
周岁）组 25周岁以下组
合计
2
生产能手 15
非生产能手
45
合计 60
15 30
25 70
100×(15×25?45×15)2
60×40×30×70
40 100
=
2514
??(?????????)由附：????=可得：(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)≈1.79；
因为：1.79＜2.706，
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