所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”；
故答案为：（1）中位数为x≈73；（2）P=；（3）没有90%的把握认为“生产能手
10与工人所在的年龄组有关”； 20．已知椭圆E：??2??27
+
??2??2=1（a＞b＞0），其短轴长为4，离心率为e1，双曲线
??2??
?
??2??
=1
（m＞0，n＞0）的渐近线方程为y＝±x，离心率为e2，且e1?e2＝1． （1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的右焦点为F，过点G（4，0）作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率分别为k1，k2，试判断k1+k2是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
【分析】（1）由题意可知b＝2，利用双曲线的渐近线方程求出双曲线的离心率，从而得到椭圆的离心率，进而求出a的值，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设直线MN的方程为：y＝k（x﹣4）（k≠0），与椭圆方程联立，由韦达定理可得????+????=
16??
221+2??
，????????=
32???81+2??
22
，代入k1+k2中化简，即可得到k1+k2＝0，所以k1+k2
是定值，定值为0．
解：（1）由题意可知：2b＝4，∴b＝2， 又∵
????
=??，∴双曲线的离心率e2=√??+
2??=??， ??√
√
∵e1?e2＝1．∴椭圆的离心率e1=2，
2
∴????=??=√?????=√2，∴a＝2√??，
2????
2∴椭圆的标准方程为：
??28
+
??24
=??；
（2）设直线MN的方程为：y＝k（x﹣4）（k≠0），
??=??(?????)
联立方程{??，消去y得：（1+2k2）x2﹣16k2x+32k2﹣8＝0， ??
??+????=??设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则????+????=
??16??
221+2??
，????????=
32???81+2??
22
，
1+2 ∴k1+k2=???2??2?21
??
=
??(??1?4)??(??2?4)+ ??1?2??2?2(??1?4)(??2?2)+(??2?4)(??1?2)
(??1?2)(??2?2)2??1??2?6(??1+??2)+16
， (??1?2)(??2?2)16??
22=???=???
将????+????=＝0
1+2??
，????????=
32???81+2??
22
代入上式得：2x1x2﹣6（x1+x2）+16＝0，即k1+k2
∴k1+k2是定值，定值为0．
21．已知函数f（x）＝xsinx+acosx+x，a∈一、选择题．
（Ⅰ）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）当a＝2时，求f（x）在区间[??，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）当a＞2时，若方程f（x）﹣3＝0在区间[??，2]上有唯一解，求a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求得f（x）的解析式和导数，可得切线的斜率、切点，由斜截式方程可得切线的方程；
（Ⅱ）求得函数的导数，判断单调性，计算可得最值；
（Ⅲ）求得导数，构造函数h（x）＝（1﹣a）sinx+xcosx+1，求得导数，判断符号，可得单调性，由函数零点存在定理，可得f（x）的单调性，结合条件可得a的范围． 解：（Ⅰ）当a＝﹣1时，f（x）＝xsinx﹣cosx+x， 所以f′（x）＝2sinx+xcosx+1，f′（0）＝1． 又因为f（0）＝﹣1，
所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x﹣1； （Ⅱ）当a＝2时，f（x）＝xsinx+2cosx+x， 所以f′（x）＝﹣sinx+xcosx+1． 当??∈(??，2)时，1﹣sinx＞0，xcosx＞0，
??
??
??
所以f′（x）＞0．
所以f（x）在区间[??，2]上单调递增．
因此f（x）在区间[??，2]上的最大值为??(2)=??，最小值为f（0）＝2； （Ⅲ）当a＞2时，f'（x）＝（1﹣a）sinx+xcosx+1，
设h（x）＝（1﹣a）sinx+xcosx+1，h′（x）＝（2﹣a）cosx﹣xsinx， 因为a＞2，??∈[??，2]， 所以h′（x）＜0．
所以h（x）在区间[??，2]上单调递减，
因为h（0）＝1＞0，??(2)=?????+??=?????＜??，
所以存在唯一的????∈[??，2]，使h（x0）＝0，即f′（x0）＝0． 所以f（x）在区间[0，x0]上单调递增，在区间[????，2]上单调递减． 因为f（0）＝a，??(2)=??，
又因为方程f（x）﹣3＝0在区间[??，2]上有唯一解， 所以2＜a≤3．
请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．已知直线l：x?√??y＝0与曲线C：x2+（y﹣3）2＝9，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；
（2）将直线l绕极点O逆时针方向旋转30°，得到的直线l'，这两条直线与曲线C分别交于异于极点的P，Q，两点，求△OPQ的面积．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果． 解：（1）直线l：x?√??y＝0转换为极坐标方程为??=6（ρ∈R）． ??=??????????根据{??=??????????
????+????=????
曲线C：x2+（y﹣3）2＝9，转化为极坐标方程为ρ＝6sinθ．
??
??
??
??
??????????
??
??
（2）将直线l绕极点O逆时针方向旋转30°，得到????=3． 设OP＝ρ1，OQ＝ρ2，则????=????????6=??，????=????????3=??√??． 所以??△??????=1×????×????×????????=1×??×??√??×1=93．
26224√
??
????
23．已知函数??(??)=|???????|+??+的最小值为m．
2（1）求m的值；
（2）若a，b，c为正实数，且a+b+c＝m，证明：????+????+????≥．
【分析】（1）去掉绝对值符号，利用分段函数求解函数的最值，通过m即可． （2）利用重要不等式a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，利用综合法证明即可． ?????2，??≥2，1
【解答】（1）解：根据题意，函数??(??)=|???????|+??+2={， 31
???+2，??＜2，所以f（x）为在(?∞，]单调递减，在[，+∞)单调递增，
22所以??(??)??????=??()=??，即??=??． 2（2）证明：由（1）知，m＝1，所以a+b+c＝1，
又因为a，b，c为正实数，a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac， 所以2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac），即a2+b2+c2≥ab+bc+ac， 所以1＝（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3（a2+b2+c2）， 即????+????+????≥．
1
1311
11
1
13
相关推荐：
loading