所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”;
故答案为:(1)中位数为x≈73;(2)P=;(3)没有90%的把握认为“生产能手
10与工人所在的年龄组有关”; 20.已知椭圆E:??2??27
+
??2??2=1(a>b>0),其短轴长为4,离心率为e1,双曲线
??2??
?
??2??
=1
(m>0,n>0)的渐近线方程为y=±x,离心率为e2,且e1?e2=1. (1)求椭圆E的方程;
(2)设椭圆E的右焦点为F,过点G(4,0)作斜率不为0的直线交椭圆E于M,N两点,设直线FM和FN的斜率分别为k1,k2,试判断k1+k2是否为定值,若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
【分析】(1)由题意可知b=2,利用双曲线的渐近线方程求出双曲线的离心率,从而得到椭圆的离心率,进而求出a的值,即可得到椭圆的标准方程;
(2)设直线MN的方程为:y=k(x﹣4)(k≠0),与椭圆方程联立,由韦达定理可得????+????=
16??
221+2??
,????????=
32???81+2??
22
,代入k1+k2中化简,即可得到k1+k2=0,所以k1+k2
是定值,定值为0.
解:(1)由题意可知:2b=4,∴b=2, 又∵
????
=??,∴双曲线的离心率e2=√??+
2??=??, ??√
√
∵e1?e2=1.∴椭圆的离心率e1=2,
2
∴????=??=√?????=√2,∴a=2√??,
2????
2∴椭圆的标准方程为:
??28
+
??24
=??;
(2)设直线MN的方程为:y=k(x﹣4)(k≠0),
??=??(?????)
联立方程{??,消去y得:(1+2k2)x2﹣16k2x+32k2﹣8=0, ??
??+????=??设M(x1,y1),N(x2,y2), 则????+????=
??16??
221+2??
,????????=
32???81+2??
22
,
1+2 ∴k1+k2=???2??2?21
??
=
??(??1?4)??(??2?4)+ ??1?2??2?2(??1?4)(??2?2)+(??2?4)(??1?2)
(??1?2)(??2?2)2??1??2?6(??1+??2)+16
, (??1?2)(??2?2)16??
22=???=???
将????+????==0
1+2??
,????????=
32???81+2??
22
代入上式得:2x1x2﹣6(x1+x2)+16=0,即k1+k2
∴k1+k2是定值,定值为0.
21.已知函数f(x)=xsinx+acosx+x,a∈一、选择题.
(Ⅰ)当a=﹣1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (Ⅱ)当a=2时,求f(x)在区间[??,2]上的最大值和最小值;
(Ⅲ)当a>2时,若方程f(x)﹣3=0在区间[??,2]上有唯一解,求a的取值范围. 【分析】(Ⅰ)求得f(x)的解析式和导数,可得切线的斜率、切点,由斜截式方程可得切线的方程;
(Ⅱ)求得函数的导数,判断单调性,计算可得最值;
(Ⅲ)求得导数,构造函数h(x)=(1﹣a)sinx+xcosx+1,求得导数,判断符号,可得单调性,由函数零点存在定理,可得f(x)的单调性,结合条件可得a的范围. 解:(Ⅰ)当a=﹣1时,f(x)=xsinx﹣cosx+x, 所以f′(x)=2sinx+xcosx+1,f′(0)=1. 又因为f(0)=﹣1,
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x﹣1; (Ⅱ)当a=2时,f(x)=xsinx+2cosx+x, 所以f′(x)=﹣sinx+xcosx+1. 当??∈(??,2)时,1﹣sinx>0,xcosx>0,
??
??
??
所以f′(x)>0.
所以f(x)在区间[??,2]上单调递增.
因此f(x)在区间[??,2]上的最大值为??(2)=??,最小值为f(0)=2; (Ⅲ)当a>2时,f'(x)=(1﹣a)sinx+xcosx+1,
设h(x)=(1﹣a)sinx+xcosx+1,h′(x)=(2﹣a)cosx﹣xsinx, 因为a>2,??∈[??,2], 所以h′(x)<0.
所以h(x)在区间[??,2]上单调递减,
因为h(0)=1>0,??(2)=?????+??=?????<??,
所以存在唯一的????∈[??,2],使h(x0)=0,即f′(x0)=0. 所以f(x)在区间[0,x0]上单调递增,在区间[????,2]上单调递减. 因为f(0)=a,??(2)=??,
又因为方程f(x)﹣3=0在区间[??,2]上有唯一解, 所以2<a≤3.
请考生在22,23,题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22.已知直线l:x?√??y=0与曲线C:x2+(y﹣3)2=9,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线l和曲线C的极坐标方程;
(2)将直线l绕极点O逆时针方向旋转30°,得到的直线l',这两条直线与曲线C分别交于异于极点的P,Q,两点,求△OPQ的面积.
【分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. (2)利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果. 解:(1)直线l:x?√??y=0转换为极坐标方程为??=6(ρ∈R). ??=??????????根据{??=??????????
????+????=????
曲线C:x2+(y﹣3)2=9,转化为极坐标方程为ρ=6sinθ.
??
??
??
??
??????????
??
??
(2)将直线l绕极点O逆时针方向旋转30°,得到????=3. 设OP=ρ1,OQ=ρ2,则????=????????6=??,????=????????3=??√??. 所以??△??????=1×????×????×????????=1×??×??√??×1=93.
26224√
??
????
23.已知函数??(??)=|???????|+??+的最小值为m.
2(1)求m的值;
(2)若a,b,c为正实数,且a+b+c=m,证明:????+????+????≥.
【分析】(1)去掉绝对值符号,利用分段函数求解函数的最值,通过m即可. (2)利用重要不等式a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,利用综合法证明即可. ?????2,??≥2,1
【解答】(1)解:根据题意,函数??(??)=|???????|+??+2={, 31
???+2,??<2,所以f(x)为在(?∞,]单调递减,在[,+∞)单调递增,
22所以??(??)??????=??()=??,即??=??. 2(2)证明:由(1)知,m=1,所以a+b+c=1,
又因为a,b,c为正实数,a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac, 所以2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ac),即a2+b2+c2≥ab+bc+ac, 所以1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3(a2+b2+c2), 即????+????+????≥.
1
1311
11
1
13
相关推荐: