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学生： 科目： 数 学 教师：
课 题 压轴题训练：圆 教学内容 知识框架
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 ? d?r ? 点C在圆内；
A2、点在圆上 ? d?r ? 点B在圆上； 3、点在圆外 ? d?r ? 点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 ? d?r ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d?r ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d?r ? 有两个交点；
BdrdCOrdd=rrd
四、圆与圆的位置关系
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外离（图1）? 无交点 ? d?R?r； 外切（图2）? 有一个交点 ? d?R?r； 相交（图3）? 有两个交点 ? R?r?d?R?r； 内切（图4）? 有一个交点 ? d?R?r； 内含（图5）? 无交点 ? d?R?r；
dR图1rRdr图2dR图3r
d
五、垂径定理
图4RrdrR图5垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB是直径 ②AB?CD ③CE?DE ④ 弧BC?弧BD ⑤ 弧AC?弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
A推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC?弧BD
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
ODACEFCOADOBCBEDB.-
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①?AOB??DOE；②AB?DE；
③OC?OF；④ 弧BA?弧BD
七、圆周角定理
C1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵?AOB和?ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴?AOB?2?ACB 2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O中，∵?C、?D都是所对的圆周角 ∴?C??D
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵?C?90? ∴?C?90? ∴AB是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△ABC中，∵OC?OA?OB
∴△ABC是直角三角形或?C?90?
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O中，
∵四边形ABCD是内接四边形
∴?C??BAD?180? ?B??D?180? ?DAE??C
BAECDBOACBOADCBOACBOA.-
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN?OA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理 切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PA?PB PO平分?BPA
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P， ∴PA?PB?PC?PD
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即：在⊙O中，∵直径AB?CD， ∴CE?AE?BE
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线
A2OMANBOPABOPCADCBOEDA ∴ PA?PC?PB
P2DOCEB.-
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙O中，∵PB、PE是割线 ∴PC?PB?PD?PE 十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：O1O2垂直平分AB。
BO1AO2即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点 ∴O1O2垂直平分AB
A十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：Rt?O1O2C中，AB2?CO12?O1O22?CO22；
（2）外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在Rt?BOD中进行：OD:BD:OB?1:3:2；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt?OAE中进行，OE:AE:OA?1:1:2：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt?OAB中进行，AB:OB:OA?1:3:2.
BOABOBO1CO2COBADCED十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：l?An?R； 180OSAlB
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