＝a[ak1＋(a＋1)2k1]＋(a＋1)2(a＋1)2k1－a(a＋1)2k1
＋
－
－
－
＝a[ak1＋(a＋1)2k1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k1.
＋
－
－
由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除， 故当n＝k＋1时命题成立.
由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立.
反思与感悟 用数学归纳法证明数的整除性问题时，关键是从当n＝k＋1时的式子中拼凑出当n＝k时能被某数整除的式子，并将剩余式子转化为能被该数整除的式子. 跟踪训练3 用数学归纳法证明对于任意非负整数n，An＝11n2＋122n
＋
＋1
能被133整除.
证明 (1)当n＝0时，A0＝112＋12＝133，能被133整除. (2)假设当n＝k(k≥0)时，Ak＝11k2＋122k
＋＋
＋1
能被133整除，
＋
＋
＋
＋
那么当n＝k＋1时，Ak＋1＝11k3＋122k3＝11·11k2＋122·122k1＝11·11k2＋11·122k1＋(122
＋
－11)·122k1＝11·(11k2＋122k1)＋133·122k1，能被133整除.
＋
＋
＋
＋
由(1)(2)可知，对于任意非负整数n，An都能被133整除. 题型四 用数学归纳法解决平面几何问题
例4 已知n个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n个平面把空间分成f(n)＝n(n－1)＋2部分.
证明 (1)当n＝1时，1个平面把空间分成2部分，而f(1)＝1×(1－1)＋2＝2(部分)，所以命题正确.
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即k个符合条件的平面把空间分为f(k)＝k(k－1)＋2(部分)，
当n＝k＋1时，第k＋1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k部分，
故f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2＋2k＝k(k－1＋2)＋2＝(k＋1)[(k＋1)－1]＋2(部分)， 即当n＝k＋1时，命题也成立.
根据(1)(2)，知n个符合条件的平面把空间分成f(n)＝n(n－1)＋2部分.
反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k增加到k＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k＋1之间的递推关系.
跟踪训练4 平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，n?n－1?求证交点的个数f(n)＝. 2
1
证明 (1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝×2×(2－1)＝1，
2∴当n＝2时，命题成立.
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)
5
1
＝k(k－1)， 2
那么，当n＝k＋1时，
1
任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为f(k)＝k(k－1)，
2l与其他k条直线的交点个数为k， 从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，
1111
即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k＝k(k－1＋2)＝k(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－1]，
2222∴当n＝k＋1时，命题成立.
由(1)(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立.
因弄错从n＝k到n＝k＋1的增加项致误
111n＋1
例5 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋n＞(n∈N*).
2322错解 ①当n＝1时，
1＋11
左边＝1＋，右边＝＝1，显然左边＞右边，
22即n＝1时不等式成立.
②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时不等式成立， 111k＋1
即1＋＋＋…＋k＞.
2322那么，当n＝k＋1时，
k＋1k＋11111111＋＋＋…＋k＋k＋1＞＋k＋1＞＋ 23222222?k＋1?＋1＝，
2
即n＝k＋1时，不等式成立.
111n＋1
由①②得1＋＋＋…＋n＞(n∈N*)成立.
2322
错因分析 以上用数学归纳法证明的过程是错误的，因为在从n＝k到n＝k＋1时增加的不k＋1k＋111111k
止一项，应是k＋k＋…＋k＋k＋1＞＋也是错误的. k，共有2项，并且2222＋12＋22＋22正解 ①当n＝1时， 1＋11
左边＝1＋，右边＝＝1，
22
6
所以左边＞右边， 即n＝1时不等式成立.
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式成立， 111k＋1即1＋＋＋…＋k＞，
2322那么，当n＝k＋1时，
k＋1111111111有1＋＋＋…＋k＋k＋k＋…＋k＋k ??...?k＞2322＋12＋222＋22?2k2k?2k2k?2k2k个k＋1k＋11?k＋1?＋12k＝＋k＝＋＝. 22222＋2k所以n＝k＋1时，不等式成立.
111n＋1由①②可知，n∈N*时1＋＋＋…＋n＞.
2322
防范措施 当n＝k＋1时，可以写出相应增加的项，然后再结合数学归纳法证明.
1－an1
1.用数学归纳法证明1＋a＋a＋…＋a＝(a≠1，n∈N*)，在验证当n＝1时，左边计
1－a
＋
2n
算所得的式子是( ) A.1 C.1＋a＋a2 答案 B
解析 当n＝1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，左边是1＋a，故选B. 2.用数学归纳法证明不等式
111113＋＋＋…＋＞(n≥2)的过程中，由n＝k递推到
2n24n＋1n＋2n＋3
B.1＋a D.1＋a＋a2＋a4
n＝k＋1时，不等式的左边( ) 1
A.增加了一项
2?k＋1?11
B.增加了两项，
2k＋12?k＋1?
111
C.增加了两项，，又减少了一项 2k＋12?k＋1?k＋111
D.增加了一项，又减少了一项 2?k＋1?k＋1答案 C
111
解析 n＝k时，左边为＋＋…＋，①
2kk＋1k＋2
7
11111
n＝k＋1时，左边为＋＋…＋＋＋，②
2k2k＋12?k＋1?k＋2k＋3比较①②可知C正确.
111n＋
3.已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k1)比f(2k)多的项数是______.
23n2答案 2k
解析 观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，
111111111＋
f(2k)＝1＋＋＋…＋k，而f(2k1)＝1＋＋＋…＋k＋k＋k＋…＋k.
2322322＋12＋22＋2k因此f(2k1)比f(2k)多了2k项.
＋
4.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)第一步应验证________. 答案 n＝3时是否成立
解析 n的最小值为3，所以第一步验证n＝3时是否成立.
5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________. 答案 Sn＝
2n
n＋1
43682n
解析 S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝.
3245n＋1
1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可.
有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础. 2.归纳假设的作用.
在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n＝k＋1时，必须用上归纳假设. 3.利用归纳假设的技巧.
在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用. 4.数学归纳法的适用范围.
数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题、探求数列的通项及前n项和等问题中.
一、选择题
1.某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立.现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得( )
8
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