高考理科数学（全国二卷）真题

（Ⅱ）建立空间直角坐标系.由题意和（Ⅰ）可得

A?10,0,0?,F?0,4,8?,E?10,4,8?,G?10,10,0? uuuruuuruuur则AF???10,4,8?,EF???10,0,0?,EG??0,6,?8?. r设平面EFHG的一个法向量为n??x,y,z?，

ruuur??n?EF?0??10x?0则?ruuu即?， r??n?EG?0?6y?8z?0r解得x?0，令y?4,z?3，则n??0,4,3?

所以直线AF与?平面所成角的正弦值为

uuurruuurrAF?n16?2422sin??cosAF,n?uuu?. rr?5100?16?8416?9AFn20.

（Ⅰ）设直线l的方程为y?kx?b,?k?0?，点A?x1,y1?,B?x2,y2?，

?y?kx?b?x1?x2y1?y2?则M?， ,?.联立方程?22222???9x?y?m消去y整理得?9?k2?x2?2kbx?b2?m2?0 （*） 所以x1?x2??2kb18b?2kb?， ,y?y?k??2b?12?22?29?k9?k?9?k?所以kOM?kABy1?y218b?2?k?x1?x29?k22?9?k2??????k??9.

2kb??m?1?k?m?3?k?,b?（Ⅱ）假设直线l存在，直线方程为y?kx?. 33设点P?xp,yp?，则由题意和（Ⅰ） 可得xp?x1?x2??

2kb18b，因为点P在椭圆上， ,y?y?y?p129?k29?k2第 17 页 共 21 页

?2kb??18b?所以9?????m2，整理得36b2?m2?9?k2?， 2?2??9?k??9?k??m?3?k??22即36???m?9?k?，

3??222化简得k2?8k?9?0，解得k?4?7， 有（*）知V?4k2b2?4?9?k2??b2?m2??0， 验证可知k?4?7都满足. 21.

（Ⅰ）因为f?x??emx?x2?mx， 所以f??x??memx?2x?m，

f???x??m2emx?2?0在R上恒成立， 所以f??x??memx?2x?m在R上单调递增. 而f??0??0，所以x?0时，f??x??0； 所以x?0时，f??x??0.

所以f?x?在???,0?单调递减，在?0,???单调递增. （Ⅱ）有（Ⅰ）知fmin?x??f?0??1， 当m?0时，f?x??1?x2， 此时f?x?在??1,1?上的最大值是2. 所以此时f?x1??f?x2??e?1.

当m?0时，f??1??e?m?1?m，f?1??em?1?m 令g?m??f?1??f??1??em?e?m?2m， 所以g??m??em?e?m?2?0

所以g?m??f?1??f??1??em?e?m?2m在R上单调递增. 而g?0??0，所以m?0时，g?m??0，即f?1??f??1?.

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所以m?0时，g?m??0，即f?1??f??1?

当m?0时，f?x1??f?x2??f?1??1?em?m?e?1?m?1 当m?0时，

f?x1??f?x2??f??1??1?e?m?m?e?m???m?

?e?1??m?1??1?m?0

所以，综上所述m的取值范围是??1,1? 22.

（Ⅰ）如图所示，连接OE,OF，

则OE?AB,OF?AC即?AEO??AFO?90o. 因为OE?OF，所以?OEF??OFE，

所以?AEF?90o??OEF,?AFE?90o??OFE，即?AEF??AFE. 因为?AEF??AFE??EAF?180o， 所以?AEF??AFE?1180o??EAF?. ?2因为VABC是等腰三角形， 所以?B??C?1180o??BAC?， ?2所以?AEF??AFE??B??C，所以EFPBC. （Ⅱ）设eO的半径为r，?AG?r,OA?2r. 在RtVAEO中，?AE2?EO2?AO2.?23在RtVAEO中，sin?OAE???2?r2??2r?，解得r?2.

2OEr1??.??OAE?30o， OA2r2第 19 页 共 21 页

1Q?OAE??OAF??EAF,AE?AF，??EAF?2?OAE?60o，

2?VAEF,VABC是等边三角形.

连接OM，?OM?2，QOD?MN，

?MD?ND?21MN?3.在RtVODM， 222OD?OM?MD?2??3?2?1.

?AD?OA?OD?4?1?5. 在RtVADB中，AB?AD5103. ??cos?BADcos30o3?四边形EBCF的面积为

SVABC?SVAEF3?103?3?????23??4?34??2??2?163. 323.

（Ⅰ）将曲线C2,C3化为直角坐标系方程

C2:x2?y2?2y?0,C3:x2?y2?23x?0.

?322x???x?0???x?y?2y?02. 联立?2解得,??23?y?0???x?y?23x?0y???2?33?所以交点坐标为?0,0?，??2,2??.

??（Ⅱ）曲线的极坐标方程为

，

的极坐标为

.

，其中

.

.

因此的极坐标为所以当24.

（Ⅰ）由题意可得

时，取得最大值，最大值为.

?a?b?2?a?b?2ab,

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??c?d?2?c?d?2cd，

Qab?cd,?ab?cd，而a?b?c?d，

?a?b???2c?d?，即2a?b?c?d. （Ⅱ）a?b?c?d?a?b?2ab?c?d?2cd ?ab?cd?ab?cd

??4ab??4cd??a?b??4ab??c?d??4cd

22??a?b?2??c?d?2

?a?b?c?d

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