2017年春季学期高二数学（理科）综合测试（一）

2017年春季高二数学（理科）综合测试（一）参考答案

题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 C 5 D 6 A 7 D 8 C 9 B 10 C 11 B 12 A 13．57 14. 51(0,) 16．???,0? 15．e321．C【解析】试题分析：f'?x??2(2?x)?2??8?2x，故选C. 2．D【解析】试题分析：f'(x)??21x?2??2，由f'(x)?0得x?2，又函数定义域为(0,??)，当2xxx0?x?2时，f'(x)?0，f(x)递减，当x?2时，f'(x)?0，f(x)递增，因此x?2是函数f(x)的极

小值点．故选D．

3．A【解析】试题分析：y?f(x)的单调变化情况为先增后减、再增再减 因此y?f'(x)的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A符合，故选A. 4．C 【解析】令

y?f(x)?axcosx，则f?(x?)ac?oxsa，x所以x??a??a?11f?()?acos?sin???，解得a??.故选C． 22222?25．D【解析】试题分析：根据导数与函数的单调性、极值之间的关系，从f'?x?的图象可知f?x?在?a,b?内从左到右的单调性依次为增?减?增?减，根据极值点的定义可知在?a,b?内只有一个极小值点 6．A【解析】试题分析：由题意得，函数y?令y??0，即121(x?1)(x?1)，x?lnx的定义域为(0,??)，且y??x??2xx(x?1)(x?1)1?，故选A. ?0，解得0?x?1，所以函数的单调递减区间?0，x，得x?0或x?1，

27．D【解析】试题分析：f?(x)?3x?3x?3x(x?1)，令f?(x)3?x23?x3(?xx1)?0?2令f?(x)?3x?3x?3x(x?1)?0，得0?x?1，因此函数f(x)在(??,0)上单调递增，在(0,1)上单调

递减，在(1,??)上单调递增，所以在x?0时，函数f(x)取得极大值1，在x?1时，函数f(x)取得极小值1，但是函数f(x)在(??,??)上，既无最大值也无最小值 23228．C【解析】试题分析：∵函数f（x）=2x-3x+a，导数f′（x）=6x-6x，令f′（x）=0，可得 x=0 或 x=1，导数在 x=0 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值．f（0）=a=6．导数在 x=1 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．故选：C． 9．B【解析】试题分析：f'(x)?aa2?f'(2)??2?a?，故选B．． ax?12a?1310．C【解析】试题分析：∵函数f(x)的导函数为f??x?，且满足f(x)?2xf'(1)?lnx，?x?0?，∴

1f??x??2f??1??，把x?1代入f??x?可得f??1??2f??1??1，解得f??1???1，故选C.

x考点：（1）导数的乘法与除法法则；（2）导数的加法与减法法则.

11．B【解析】试题分析：因为函数f(x)?x3?ax2?1在(1,3)内单调递减，所以f'?x??3x2?2ax?0，在(1,3)内恒成立，即a?3399x在?1,3?内恒成立，因为x?,所以a?，故选B. 222212．A【解析】试题分析：由题意得f??x??(x?b)(x?2)，因为函数f?x?区间??3,1?上不是单调函数，所以?3?b?1，由f??x??0，解得x?2或x?b，由f??x??0，解得b?x?2，所以f?x?的极小值为f?x??2b?4，故选A． 313．57【解析】试题分析：f??x??3x2?6x?3x?x?2?，当f??x??0时，x1??2或x2?0，f??3??a，

f?3??54?a,f??2??4?a,f?0??a,所以函数的最小值是f??3??f?0??a?3，函数的最大值是f?3??54?a?57.

14．52x2xf′x?x?3xefx?x?x?1e【解析】试题分析：因为，所以.由f′x??0，得?????????3e5?3?x?0；由f′x?0x??3f?3?，得或.因此，的极大值为. x?0fx??????3e12ax2?2x?11215．(0,)【解析】试题分析：f?(x)??2ax?2?，函数f(x)?lnx?ax?2x有两个

2xx不同的极值点,则2ax?2x?1?0有两不同的正根，故??0,a?0．解得：0?a?221. 2216．???,0?【解析】试题分析：由已知可得y'??4x?b?0在R上恒成立?b?x?b?0． 17．试题解析：（1）f'?x??3x2?1. 所以在点?2,?6?处的切线的斜率k?f'?2??13,

∴切线的方程为y?13x?32； （2）设切点为?x0,y0?，则直线l的斜率为f'?x0??3x02?1，

3所以直线l的方程为：y?3x0?1?x?x0??x0?x0?16， 又直线l过点?0,0?

2??3∴0?3x0?1?x?x0??x0?x0?16，整理，得x0??8，∴x0??2，

23?? ∴y0???2????2??16??26，l的斜率k?13， ∴直线l的方程为y?13x，切点坐标为??2,?26?.

18.试题解析： （1）f(x)?ax?bx?c的图象经过点(0,1)，则c?1，f'(x)?4ax?2bx，

4233k?f'(1)?4a?2b?1，切点为(1,?1)，则f(x)?ax4?bx2?c的图象经过点(1,?1)，

得a?b?c??1，得a?595492，b??，f(x)?x?x?1. 2222（2）f'(x)?10x?9x?0，?3310310310310或x?，单调递增区间为(??x?0，,0)，(,??).

101010102

19．解：（1）由f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b+a=10，得a=4，或a=﹣3∵a＞0，

∴a=4，b=﹣11（经检验符合）

（2）f（x）=x+4x﹣11x+16，f'（x）=3x+8x﹣11，由f′（x）=0得所以令f′（x）＞0得所以f（x）在

；令

上单调递增，

上单调递减．

3

2

2

（3）由（2）知：f（x）在（0，1）上单调递减，（1，4）上单调递增，又因为f（0）=16，f（1）=10， f（4）=100，所以f（x）的最大值为100，最小值为1020．

20．试题解析：（Ⅰ） ?a?2,?f?x??x?2lnx，?f?1??1?2ln1?1，即A?1,1?．

f'?x??1?2，?f'?1??1?2??1，由导数的几何意义可知所求切线的斜率k?f'?1???1， x所以所求切线方程为y?1???x?1?，即x?y?2?0． （Ⅱ） f'?x??1?ax?a?，当a?0时， ?x?0，?f'?x??0恒成立，?f?x?在定义域?0,???xx上单调递增；当a?0时， 令f'?x??0，得x?a，?x?0，?f'?x??0得x?a；f'?x??0得

0?x?a；

?f?x?在?0,a?上单调递减，在?a,???上单调递增．

21．【解析】（1）f?(x)?1?2a?12a2a?13??1??a?0a?f(2)?0，依题意有，即，解得. x2x42323x2?3x?2(x?1)(x?2)?检验：当a?时，f?(x)?1?2??.

2xxx2x2此时，函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,??)上单调递增，满足在x?2时取得极值.综上可知a?3. 2f(x)min?0在x?[1,??)上恒成立.

（2）依题意可得：f(x)?0对任意x?[1,??)恒成立等价转化为

2a?12ax2?2ax?(2a?1)[x?(2a?1)](x?1)f?(x)?1?2???2xxxx2因为，

x?2a?1，x2?1. ?令f(x)?0得：1?①当2a?1?1，即a?1时，函数f(x)?0在[1,??)上恒成立，则f(x)在[1,??)上单调递增，

于是

f(x)min?f(1)?2?2a?0，解得a?1，此时a?1；

（10分）

??②当2a?1?1，即a?1时，x?[1,2a?1)时，f(x)?0；x?(2a?1,??)时，f(x)?0，所以函数f(x)在[1,2a?1)上单调递减，在(2a?1,??)上单调递增， 于是

f(x)min?f(2a?1)?f(1)?2?2a?0，不合题意，此时a??.

综上所述，实数a的取值范围是(??,1].

22． 试题解析：解：（1）由题设，当m?e时，f(x)?lnx?ex,易得函数f(x)的定义域为(0,??)

?f?(x)?1ex?e??2xx2x ?当x?(0,e)时，f?(x)?0，此时f(x)在(0,e)上单调递减；

?当x?(e,??)时，f(x)?0，此时f(x)在(e,??)上单调递增； ?当x?e时，f(x)取得极小值

f(e)?lne?e?2（0，??）有唯一极值?f(x)的最小值为2 e，又f(x)在

x1mx1??2?(x?0)m??x3?x(x?0)3xx33,令g(x)?0，得 (2)?函数g(x)?f?(x)?13?(x)??x3?x(x?0)设???(x)??x2?1??(x?1)(x?1) ?当x?(0,1)时，?(x)?0，此时?(x)在(0,1)上单调递增； ?当x?(1,??)时，?(x)?0，此时?(x)在(1,??)上单调递减；

所以x?1是?(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是?(x)的最大值点，

??(x)的最大值为?(1)???1?1323 又?(0)?0，结合y=?(x)的图像（如图），可知

m?①??

23时，函数g(x)无零点； m?23时，函数g(x)有且仅有一个零点； 23时，函数g(x)有两个零点； m?22m?3时，函数g(x)无零点；当3或②?? ②当0?m?③??

③④m?0时，函数g(x)有且只有一个零点； 综上所述，当m?0时，函数g(x)有且仅有一个零点；当b?a?0,（3）对任意0?m?23时，函数g(x)有两个零点．

f(b)?f(a)?1b?a恒成立

h(x)?f(x)?x?lnx?m?x(x?0)x 等价于f(b)?b?f(a)?a恒成立 设?等价于h(x)在(0,??)上单调递减

?h?(x)?1m11?2?1?0?m??x2?x??(x?)2?(x?0)xx24在(0,??)恒成立 恒成立 ?m?1111x?[,??)m??x）（=0仅在4（对2时成立）4，h，?m的取值范围是4