专题23 多边形内角和问题
专题知识回顾
1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 2．多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
3．多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。 4．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 5．正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 6．多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180° 7．多边形的外角和：多边形的内角和为360°。 8.多边形对角线的条数：
（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。 （2）n边形共有
n(n-3)条对角线。 2专题典型题考法及解析
【例题1】（2019贵州铜仁）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（ ）
A．360° 【答案】C．
【解析】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°．
【例题2】（2019广西梧州）正九边形的一个内角的度数是（ ） A．108° 【答案】D．
【解析】先根据多边形内角和定理：180°?（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
B．120°
C．135°
D．140°
B．540°
C．630°
D．720°
1
该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°， 则每个内角的度数＝
．
【例题3】（2019湖南湘西州）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ） A．五边形 【答案】D
【解析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理。
多边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，列方程可求解． 设所求多边形边数为n， 则（n﹣2）?180°＝1080°， 解得n＝8．
【例题4】（2019海南）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧心角∠BOD的大小为 度．
所对的圆
B．六边形
C．七边形
D．八边形
【答案】144．
【解析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠
AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题．
∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠E＝∠A＝
∵AB、DE与⊙O相切， ∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°。
专题典型训练题
＝108°．
一、选择题
1．（2019湖北咸宁）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（ ） A．45° 【答案】C
【解析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，
2
B．60° C．72° D．90°
依此可以求出多边形的一个外角． ∵正多边形的内角和是540°， ∴多边形的边数为540°÷180°+2＝5， ∵多边形的外角和都是360°， ∴多边形的每个外角＝360÷5＝72°． 2．（2019内蒙古巴彦卓尔）下列命题： ①若x+kx+是完全平方式，则k＝1；
②若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，则m＝5； ③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴；
④一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形． 其中真命题个数是（ ） A．1 【答案】B
【解析】利用完全平方公式对①进行判断；利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后求出m，则可对②进行判断；根据等腰三角形的性质对③进行判断；根据多边形的内角和和外角和对④进行判断． 若x+kx+是完全平方式，则k＝±1，所以①错误；
若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，而直线AB的解析式为y＝x+4，则x＝1时，m＝5，所以②正确；
等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，所以③错误；
一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形，所以④正确．
3．（2019宁夏）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE．则图中阴影部分的面积是（ ）
2
2
B．2 C．3 D．4
A．6﹣π B．6﹣π C．12﹣π D．12﹣π
【答案】B．
【解析】∵正六边形ABCDEF的边长为2， ∴正六边形ABCDEF的面积是：
＝6×
＝6，
3
∠FAB＝∠EDC＝120°， ∴图中阴影部分的面积是： 6
﹣
＝
，
4.（2018苏州）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（ ） A． 27 B． 35 C． 44 D． 54 【答案】C
【解析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法设这个内角度数为x，边数为n， ∴（n﹣2）×180°﹣x=1510， 180n=1870+x， ∵n为正整数， ∴n=11， ∴
=44
，即可解答．
5.（2018齐齐哈尔）如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（ ） A．3 B，4 C.5 D.6 【答案】D
【解析】由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数．
∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°， ∴这个多边形的边数是：360÷60=6．
6.（2018武汉）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（ ） A． 27 B． 35 C． 44 D． 54 【答案】C
【解析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法设这个内角度数为x，边数为n， ∴（n﹣2）×180°﹣x=1510， 180n=1870+x， ∵n为正整数， ∴n=11，
4
，即可解答．
∴=44
7.（2018大连）如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC= ．
【答案】110°．
【解析】由D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠DBC+∠DCB=70，再利用三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数．
∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，
∴有∠CBD=∠ABD=∠ABC，∠BCD=∠ACD=∠ACB， ∴∠ABC+∠ACB=180﹣40=140， ∴∠OBC+∠OCB=70， ∴∠BOC=180﹣70=110°
8.（2018沈阳）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ） A．6
B．12 C．16 D．18
【答案】B
【解析】根据多边形的内角和，可得答案． 设多边形为n边形，由题意，得 （n﹣2）180°=150n， 解得n=12
9．（2018山东临沂）内角和为540°的多边形是（ ）
A．【答案】C
B．C． D．
【解析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°列式进行计算即可求解． 设多边形的边数是n，则 （n﹣2）?180°=540°， 解得n=5．
10.（2018江苏镇江）已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°.
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不
5
对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x. 【答案】(1)甲对，乙不对,理由见解析；（2）2.
【解析】（1）根据多边形的内角和公式判定即可；（2）根据题意列方程，解方程即可. 试题解析：(1)甲对，乙不对.
∵θ=360°，∴（n-2）×180°=360°， 解得n=4.
∵θ=630°，∴（n-2）×180°=630°， 解得n=
11. 2∵n为整数，∴θ不能取630°.
(2)由题意得，（n-2）×180+360=（n+x-2）×180， 解得x=2.
11．（2018湖南岳阳）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（ ） A．6
B．7
C．8 D．9
【答案】D
【解析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数． 正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°， 则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．
12.（2018四川绵阳）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9 【答案】D．
【解析】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．
首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）?180°=1080°， 解得：n=8．
则原多边形的边数为7或8或9．
13.（2019大庆模拟题）将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900° 【答案】D．
6
【解析】本题考查了多边形的内角与外角，能够得出一个矩形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键．
根据题意列出可能情况，再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可．
①将矩形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和为：180°+180°=360°
②将矩形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540° ③将矩形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：360°+360°=720°
14.（2019长沙模拟题）若一个正n边形的每个内角为144°，则正n边形的所有对角线的条数是（ ） A．7 B．10 C．35 D．70 【答案】C．
【解析】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正n边形的边数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键．
由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出
n的值，将其代入中即可得出结论．
∵一个正n边形的每个内角为144°， ∴144°n=180°×（n﹣2），解得：n=10．
这个正n边形的所有对角线的条数是： ==35．
15. （2018江西）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（ ）
A．115 B．120 C．125 D．130
【答案】C
【解析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．
∵正三角形ACD，
∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°， ∵AB=DE，BC=AE， ∴△ABC≌△AED，
7
∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE， ∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°， ∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125° 二、填空题
16．（2019江苏淮安）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数是 ． 【答案】5
【解析】n边形的内角和公式为（n﹣2）?180°，由此列方程求n． 设这个多边形的边数是n， 则（n﹣2）?180°＝540°， 解得n＝5
17.（2019陕西）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为
【答案】6
【解析】如图所示为正六边形最长的三条对角线，由正六边形性质可知，△AOB，△COD为两个边长相等的等边三角形，∴AD=2AB=6，故答案为6
18．（2019江苏徐州）如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD＝ ．
【答案】140°
【解析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
多边形的每个外角相等，且其和为360°， 据此可得多边形的边数为：∴∠OAD＝
， ．
8
19.（经典题）一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是________. 【答案】8
【解析】根据多边形的内角和公式，多边形外角和为360°，根据题意列出方程，解之即可. 设这个多边形边数为n，∴（n-2）×180°=360°×3，∴n=8.
9
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