曲线运动
基本概念： 一、曲线运动
1.条件：运动物体所受合力(加速度)的方向跟它的速度方向不在同一直线上。 曲线运动一定是变速运动。
2．曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系
（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。
（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。 ②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。 ③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动） 二、运动的合成与分解
合运动与分运动的关系：等时性、独立性、等效性、矢量性。 互成角度的两个分运动的合运动的判断：
①两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。
②速度方向不在同一直线上的两个分运动，一个是匀速直线运动，一个是匀变速直线运动，其合运动是匀变速曲线运动，a合为分运动的加速度。
③两初速度为0的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动。
④两个初速度不为0的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动。当两个分运动的初速度的和速度方向与这两个分运动的和加速度在同一直线上时，合运动是匀变速直线运动，否则即为曲线运动。 三、平抛运动
1.条件：①物体具有水平方向的初速度；②运动过程中只受重力。
2.处理方法：平抛运动可以看作两个分运动的合运动：一个是水平方向的匀速直线运动，一个是竖直方向的自由落体运动。
3．基本规律 位移关系
速度关系
4．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。
5.应用结论——影响做平抛运动的物体的飞行时间、射程及落地速度的因素
t?2hg，t与物体下落高度h有关，与初速度v0无关。
飞行时间：
x?v0t?v0水平射程：
2h,g由v0和h共同决定。
落地速度：
v?v0?vy?v0?2gh222，v由v0和vy共同决定。
四、匀速圆周运动 1.特点：①轨迹是圆；
②线速度、加速度均大小不变，方向不断改变，故属于加速度改变的变速曲线运动， 匀速圆周运动的角速度恒定；
③匀速圆周运动发生条件是质点受到大小不变、方向始终与速度方向垂直的合外力； ④匀速圆周运动的运动状态周而复始地出现，匀速圆周运动具有周期性。 2.描述圆周运动的物理量：
（1）线速度：质点通过的圆弧长跟所用时间的比值。
?s2??v???r?r2?fr?2?nr?tT 单位：米/秒，m/s
线速度v是描述质点沿圆周运动快慢的物理量，是矢量；其方向沿轨迹切线，匀速圆周运动中，v的大小不变，方向却一直在变；
（2）角速度：质点所在的半径转过的角度跟所用时间的比值。角速度ω是描述质点绕圆心转动快慢的物理量，是矢量；
????2???2?f?2?n?tT单位：弧度/秒，rad/s
T?（3）周期：物体做匀速圆周运动一周所用的时间。频率：单位时间内完成圆周运动的圈数。
f?2?r2??v? 单位：秒，s
1T 单位：赫兹，Hz
n?（4）转速：单位时间内转过的圈数。
Nt 单位：转/秒，r/s n?f (条件是转速n的单位必须为转/秒)
2v2?222a???r??v?()r?(2?f)rrT（5）向心加速度：
2v222F??mamm?2r?mv?m()r?m(2f)rrT（6）向心力：
????3.各运动参量之间的转换关系：
v??R?2?v2?2?R?2?nR?变形???????2?n,T?R.TRTv
五、向心加速度
1.意义：描述圆周运动速度方向方向改变快慢的物理量。
v2?2??2an???2r?v????r?(2?n)r.r?T?2.公式：
5.两个函数图像：
an an 2O v一定
r O ω一定
r
v2?2??Fn?m?m?2r?mv??m??r?m(2?n)2r.r?T?六、向心力
1.几个注意点：①向心力的方向总是指向圆心，它的方向时刻在变化，向心力是变力。②在受力分析时，只
分析性质力，而不分析效果力，分析力时不要加上向心力。③描述做匀速圆周运动的物体时，不能说该物体受向心力，而是说该物体受到什么力，这几个力的合力充当或提供向心力。 2.离心运动：
（1）当物体实际受到的沿半径方向的合力满足F供=F需=mω2r时，物体做圆周运动；当F供 （2）离心运动并不是受“离心力”的作用产生的运动，而是惯性的表现，是F供 2常见模型 一、有关“曲线运动”的两大题型 （一）小船过河问题 模型一：过河时间t最短： 模型二：直接位移x最短： 模型三：间接位移x最短： v vv v船 v船 v船 d d d θ A θ θ θ vv水 v水 当v>v时，水船 d当v水 v1．关键：①物体的实际运动速度是合速度，分速度的方向要按实际运动效果确定 水 ②沿绳（或杆）方向的分速度大小相等 2.思路与方法 合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v ?其一：沿绳（杆）的速度v∥? 分速度→? ?其二：与绳（杆）垂直的速度v⊥? 方法：v∥与v⊥的合成遵循平行四边形定则。 3.解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见实例如右图： 二、平抛运动及类平抛运动常见问题 模型一：斜面问题： 处理方法：1.沿水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动； 2.沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的竖直上抛运动。 2vtan?1x?v0t,y?gt2?t?02g 1．物体从A运动到B的时间：根据 2 .B点的速度vB及其与v0的夹角α： 2v?v0?(gt)2?v01?4tan2?,??arctan(2tan?) 22v0tanθx?或s?x2?y2 3．A、B之间的距离s：s?cosθgcosθ模型二：临界问题：排球的运动可看作平抛运动，把它分解为水平的匀速直线运动和 竖直的自由落体运动来分析。但应注意“环境”限制下的平抛运动，应弄清限制 条件再求解. 模型三：类平抛运动： 2b12?s?v.0s?v0t,b?at,mgsin??magsin? 2 1沿初速度方向的水平位移：根据 a'? 2．入射的初速度： mgsin?1?gsin?,b?a't2,a?v0t?v0?m2gsin?.2b a? 3．P到Q的运动时间： mgsin?12b?gsin?,b?a't2,?t?.m2gsin? 三、圆周运动常见模型 1、三种常见的转动装置: 模型一：共轴传动 模型二:皮带传动 模型三：齿轮传动 （角速度相等） （轮缘上线速度大小相等） （转动方向相反） A r B A O r1 A r O R B O R vA?vB,r2 B ?A??B,vAR?,TA?TBvBr?rTRvA?vB,B?,B??ARTArTAr1n???1?BTBr2n2?A 2、圆周运动的临界问题 模型三.软绳、轨道模型，轻杆、管道模型，球壳外模型 类型 受力特点 图示 最高点的运动情况 用细绳拴一小球在竖直平面内转动 绳对球只有拉力 v mv①若F＝0，则mg＝，v＝gR R②若F≠0，则v>gR 2一小球在竖直轨道平面内转动 轨道对小球只有支持力 v mv① FN＝0，则mg＝，v＝gR R② FN≠0，则v>gR 2小球固定在轻杆的一端在竖直平面内转动 杆对球可以是拉力也可以是支持力 mv①若F＝0，则mg＝，v＝gR R2v②若F向下，则mg＋F＝m，v>gR R2mv③若F向上，则mg－F＝或mg－F＝0，则0≤R2 v 模型四.转盘问题处理方法： N A 先对A进行受力分析，如图所示，注意在分析时不能忽略摩擦力，当然， O f 如果说明盘面为光滑平面，摩擦力就可以忽略了。受力分析完成后，可以 mg 发现支持力N与mg相互抵销，则只有f充当该物体的向心力， v22?F?m?m?2R?m()2R?m(2?n)2R?f?mg?RT 则有， O R B 等效处理：上图中的f在此图中可等效为绳或杆对小球的拉力，则将f改为F拉即可。 四、有关生活中常见圆周运动的涉及的几大题型分析 模型一：火车转弯问题： FN 等效 F 圆周运动中的动力学问题a、涉及公式： F合?mgtan??mgsin??mghL① L h mg F合?mvv0?R②，由①②得： 20RghL。 b、分析：设转弯时火车的行驶速度为v，则： 若v>v0，外轨道对火车轮缘有挤压作用； 若v v2v2mg?FN?mFN?mg?m?mgR,所以当R当汽车过凸形桥顶点时汽车处于失重状态
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