2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知a?2?1，b?3?2，c?6?2，那么a,b,c的大小关系是 （ ）
A. a?b?c B. a?c?b C. b?a?c D.b?c?a 【答】C. 因为
1111?2?1，?3?2，所以0??，故b?a.又c?a?(6?2)?(2?1)?6? abab(2?1)，而(6)2?(2?1)2?3?22?0，所以6?2?1，故c?a.因此b?a?c.
2．方程x?2xy?3y?34的整数解(x,y)的组数为 （ ） A．3. B．4. C．5. D．6. 【答】B.
方程即(x?y)?2y?34，显然x?y必须是偶数，所以可设x?y?2t，则原方程变为
2222?t??2,2t2?y2?17，它的整数解为?从而可求得原方程的整数解为(x,y)＝(?7,3)，(1,3)，(7,?3)，
?y??3,(?1,?3)，共4组.
3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 （ ）
A．
652625 B． C． D． 3333AD【答】D.
过点C作CP//BG，交DE于点P.因为BC＝CE＝1，所以CP是△BEG的中位线，所以P为EG的中点.
又因为AD＝CE＝1，AD//CE，所以△ADF≌△ECF，所以CF＝DF，又CP//FG，所以FG是△DCP的中位线，所以G为DP的中点.
因此DG＝GP＝PE＝
GFP21DE＝.
33BCE连接BD，易知∠BDC＝∠EDC＝45°，所以∠BDE＝90°. 又BD＝2，所以BG＝BD?DG?224222?225?. 9344．已知实数a,b满足a?b?1，则a?ab?b的最小值为 （ ）
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A．?19. B．0. C．1. D．. 88【答】B.
19a4?ab?b4?(a2?b2)2?2a2b2?ab?1?2a2b2?ab??2(ab?)2?.
481131112922因为2|ab|?a?b?1，所以??ab?，从而??ab??，故0?(ab?)?，因此
2244441619990??2(ab?)2??，即0?a4?ab?b4?.
4888因此a?ab?b的最小值为0，当a??442222,b?,b??或a?时取得. 2222232325．若方程x?2px?3p?2?0的两个不相等的实数根x1,x2满足x1?x1?4?(x2?x2)，则实数p的所有可能的值之和为 （ ）
A．0. B．?【答】 B.
由一元二次方程的根与系数的关系可得x1?x2??2p，x1?x2??3p?2，所以
2x12?x2?(x1?x2)2?2x1?x2?4p2?6p?4，
3x13?x2?(x1?x2)[(x1?x2)2?3x1?x2]??2p(4p2?9p?6).
2323223322又由x1?x1?4?(x2?x2)得x1?x2?4?(x1?x2)，所以4p?6p?4?4?2p(4p?9p?6)，
35. C．?1. D．?. 44所以p(4p?3)(p?1)?0，所以p1?0,p2??,p3??1.
343均满足题意，p3??1不满足题意. 433因此，实数p的所有可能的值之和为p1?p2?0?(?)??.
44代入检验可知：p1?0,p2??6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd（数字可重复使用），要求满足a?c?b?d.这样的四位数共有 （ ）
A．36个. B．40个. C．44个. D．48个. 【答】C.
根据使用的不同数字的个数分类考虑：
（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个.
（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6×4＝24个.
（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个.
（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个.
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因此，满足要求的四位数共有4＋24＋8＋8＝44个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知互不相等的实数a,b,c满足a?【答】 ?1.
111?b??c??t，则t?_________． bca11111，代入b??t得?t得b???t，整理得ct2?(ac?1)t?(a?c)?0 ①
bt?act?ac1222又由c??t可得ac?1?at，代入①式得ct?at?(a?c)?0，即(c?a)(t?1)?0，又c?a，
a由a?所以t?1?0，所以t??1.
验证可知：b?m21a?11a?1时t?1；b??时t??1.因此，t??1. ,c?,c??1?aa1?aa2．使得5?2?1是完全平方数的整数m的个数为 ． 【答】 1．
m2设5?2?1?n（其中n为正整数），则5?2?n?1?(n?1)(n?1)，显然n为奇数，设n?2k?1mm?2m2（其中k是正整数），则5?2?4k(k?1)，即5?2?k(k?1).
?k?5?2m?2,?k?5,?k?2m?2,显然k?1，此时k和k?1互质，所以?或?或?解得k?5,m?4. m?2k?1?1,k?1?2,k?1?5,???因此，满足要求的整数m只有1个.
3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则【答】
BC＝ ． APA3. 设D为BC的中点，在△ABC外作∠CAE＝20°，则∠BAE＝60°. 作CE⊥AE，PF⊥AE，则易证△ACE≌△ACD，所以CE＝CD＝
F1BC. 2P又PF＝PAsin∠BAE＝PAsin60°＝
331AP，PF＝CE，所以AP＝BC， 222BDCE因此
BC＝3. AP4．已知实数a,b,c满足abc??1，a?b?c?4，
abc4???，则
a2?3a?1b2?3b?1c2?3c?19a2?b2?c2＝ ．
【答】
233. 22因为a?3a?1?a?3a?abc?a(bc?a?3)?a(bc?b?c?1)?a(b?1)(c?1)，所以
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a1?. 2a?3a?1(b?1)(c?1)同理可得
b1c1??，.
b2?3b?1(a?1)(c?1)c2?3c?1(a?1)(b?1)结合
1114abc4???可得，???(b?1)(c?1)(a?1)(c?1)(a?1)(b?1)9a2?3a?1b2?3b?1c2?3c?19所以
4(a?1)(b?1)(c?1)?(a?1)?(b?1)?(c?1). 91. 4332222因此，a?b?c?(a?b?c)?2(ab?bc?ac)?.
211实际上，满足条件的a,b,c可以分别为?,,4.
22结合abc??1，a?b?c?4，可得ab?bc?ac??
第二试 （A)
一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为a,b,c（a?b?c），则a?b?c?30.
显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c，下面先求c的值. 由a?b?c及a?b?c?30得30?a?b?c?3c，所以c?10. 由a?b?c及a?b?c?30得30?a?b?c?2c，所以c?15.
又因为c为整数，所以11?c?14. ……………………5分 根据勾股定理可得a?b?c，把c?30?a?b代入，化简得ab?30(a?b)?450?0，所以
222(30?a)(30?b)?450?2?32?52， ……………………10分
2??a?5,?30?a?5,因为a,b均为整数且a?b，所以只可能是?解得……………………15分 ?2b?12.???30?b?2?3,所以，直角三角形的斜边长c?13，三角形的外接圆的面积为
169?. ……………………20分 42AD?BD?CD. 二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明：
AODPBC
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证明：连接OA，OB，OC.
∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得PA?PD?PO，AD?PD?OD. ……………………5分 又由切割线定理可得PA?PB?PC，∴PB?PC?PD?PO，∴D、B、C、O四点共圆，
2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第4页（共7页） ……………………10分
∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD， ……………………20分
222PDBD2，∴AD?PD?OD?BD?CD. ……………………25分 ?CDOD12三．（本题满分25分）已知抛物线y??x?bx?c的顶点为P，与x轴的正半轴交于A(x1,0)、
63B(x2,0)（x1?x2）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M(0,?)，若AM//BC，
2∴
求抛物线的解析式.
解 易求得点P(3b,b?c)，点C(0,c).
设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为(3b,m). 显然，x1,x2是一元二次方程?32212x?bx?c?0的两根，所以x1?3b?9b2?6c，6x2?3b?9b2?6c，又AB的中点E的坐标为(3b,0)，所以AE＝9b2?6c.……………………5分
因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得AE?PE?DE，即
23(9b2?6c)2?(b2?c)?|m，又易知|m?0，所以可得m??6. ……………………10分
2又由DA＝DC得DA?DC，即(9b2?6c)2?m2?(3b?0)2?(m?c)2，把m??6代入后可解得c??6（另一解c?0舍去）. ……………………15分
223|?|3b?9b?6cOAOM?2. ……………………20分 ?又因为AM//BC，所以，即OBOC3b?9b2?6c|?6|255（另一解b??舍去）. 22125因此，抛物线的解析式为y??x?x?6. ……………………25分
62把c??6代入解得b?
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