由正弦定理得：，即，解得sin∠ACD=1，
∴∠ACD=90°，即DC⊥AC．
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD， ∴DC⊥PA．
又AC∩PA=A，AC?平面PAC，PA?平面PAC， ∴CD⊥平面PAC．∵AE?平面PAC， ∴CD⊥AE．
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD， ∴PA⊥AB，PA⊥AD．∴∠BAD即为二面角B﹣PA﹣D的平面角． ∵平面PAB⊥平面PAD，∴∠BAD=90°．
以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，
．
∴
=（
，3λ，﹣3λ），∴
= =（
，3，﹣3）.=（，
=（0，0，3）．
，3λ，3﹣3λ）．
设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则
∴，令，得=（，0，1）．
设直线AE与平面PBC所成的角为θ，则
，
∴或．
20．已知点F（1，0），点P在圆E：（x+1）2+y2=16上，线段PF的垂直平分线交PE于点M．记点M的轨迹为曲线Γ．过x轴上的定点Q（m，0）（m＞2）的直线l交曲线Γ于A，B两点．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）设点A关于x轴的对称点为A′，证明：直线A′B恒过一个定点S，且|OS|?|OQ|=4．
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【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质． 【分析】（I）利用垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出．
（Ⅱ）由椭圆的对称性可得，定点S必在x轴上．设直线l的方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），直线A'B与x轴的交点为S（s，0）则A'（x1，﹣y1），直线方程与椭圆
22222
方程联立可得：（3+4k）x﹣8kmx+4km﹣12=0，利用根与系数的关系，及其A'，B，S三点共线，进而得出． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，|MP|=|MF|，∴|ME|+|MF|=4， ∵|ME|+|MF|＞|EF|，
∴点M的轨迹是以点F（1，0）和E（﹣1，0）为焦点，2a=4的椭圆， ∴
，
∴曲线Γ的方程为．
（Ⅱ）由椭圆的对称性可得，定点S必在x轴上．设直线l的方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），直线A'B与x轴的交点为S（s，0）则A'（x1，﹣y1）， ∴
=（x1﹣s，﹣y1），
=（x2﹣s，y2），
由
得，（3+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12=0，
△＞0，即（4﹣m2）k2+3＞0，
∴，
当k≠0时，由A'，B，S三点共线，可得（x1﹣s）y2+（x2﹣s）y1=0， 即k（x1﹣s）（x2﹣m）+k（x2﹣s）（x1﹣m）=0，2x1x2﹣（s+m）（x1+x2）+2sm=0， ∴
，
∴，
∴，即，k=0时，直线A'B与x轴重合，过点
，且
=4．
．
综上述，直线A'B恒过一个定点
21．已知函数f（x）=﹣
+（a﹣1）x+lnx．
（Ⅰ）若a＞﹣1，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若a＞1，求证：（2a﹣1）f（x）＜3ea﹣3．
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【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（Ⅰ）求导，令f′（x）=0，解得x1、x2，再进行分类讨论，利用导数大于0，求得函数的单调增区间；利用导数小于0，求得函数的单调减区间；
（Ⅱ）a＞1，由函数单调性可知，f（x）在x=1取极大值，也为最大值，f（x）max=a﹣1，因此（2a﹣1）f（x）≤（2a﹣1）（a﹣1），构造辅助函数g（a）=
，
求导，求出g（a）的单调区间及最大值可证明（2a﹣1）f（x）＜3ea﹣3． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=﹣
，
＜=3，可知g（a）＜3，ea﹣3＞0，即
+（a﹣1）x+lnx，x＞0
则f′（x）=﹣ax+（a﹣1）+=，
令f′（x）=0，解得x1=1，x2=﹣， 当﹣＞1，解得﹣1＜a＜0，
∴﹣1＜a＜0，f′（x）＞0的解集为（0，1），（﹣，+∞）， f′（x）＜0的解集为（1，﹣），
∴函数f（x）的单调递增区间为：（0，1），（﹣，+∞）， 函数f（x）的单调递减区间为（1，﹣）； 当﹣＜1，解得a＞0，
∴a＞0，f′（x）＞0的解集为（0，1）， f′（x）＜0的解集为（1，+∞）；
∴当a＞0，函数f（x）的单调递增区间为（0，1）， 函数f（x）的单调递减区间为（1，+∞）；
综上可知：﹣1＜a＜0，函数f（x）的单调递增区间为：（0，1），（﹣，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（1，﹣）；
a＞0，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），函数f（x）的单调递减区间为（1，+∞）； （Ⅱ）证明：∵a＞1，故由（Ⅰ）可知函数f（x）的单调递增区间为（0，1）单调递减区间为（1，+∞）， ∴f（x）在x=1时取最大值，并且也是最大值，即f（x）max=a﹣1， 又∵2a﹣1＞0，
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∴（2a﹣1）f（x）≤（2a﹣1）（a﹣1），
设g（a）=，g′（a）=﹣=﹣，
∴g（a）的单调增区间为（2，），单调减区间为（，+∞），
∴g（a）≤g（）==，
∵2∴
＞3， ＜=3，
∴g（a）＜3， ea﹣3＞0，
∴（2a﹣1）f（x）＜3ea﹣3．
四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，已知⊙A和⊙B的公共弦CD与AB相交于点E，CB与⊙A相切，⊙B半径为2，AE=3．
（Ⅰ）求弦CD的长；
（Ⅱ）⊙B与线段AB相交于点F，延长CF与⊙A相交于点G，求CG的长．
【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质． 【分析】（Ⅰ）连结CA，由圆的切线的性质、对称性，根据射影定理求出BE，再根据勾股定理，继而得出弦CD的长；
（Ⅱ）在△CEF中，求出EF，CF的长，根据勾股定理求出AC，设⊙A与直线AB相交于M，N两点，分别求出AF，MF，NF，根据相交弦定理求得CF?FG，得出FG，继而求得CG的值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：连结CA，则CA⊥CB， ∵由圆的对称性知CD⊥AB，
∴由射影定理得：BC2=BE?BA=BE?（BE+EA）， ∴22=BE?（BE+3），∴BE=1； ∴在 Rt△BEC中，∴．
（Ⅱ）在△CEF中，
，
，EF=BF﹣BE=1，
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