专题1函数、导数
【课标要求】 1．课程目标
通过集合的教学，使学生学会使用基本的集合语言描述有关的数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力；使学生初步感受到运用集合语言描述数学对象时的简洁性和准确性．
通过函数概念与基本初等函数I的教学，使学生理解函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型；使学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步学会运用函数思想理解和处理现实生活中的简单问题；培养学生的理性思维能力、辨证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探究能力、数学建模能力以及数学交流的能力． 2．复习要求
（1）理解集合之间包含与相等的含义，理解两个集合的并集与交集的含义；理解补集的含义．了解集合的含义；了解全集与空集的含义；（不要求证明集合的相等关系、包含关系）．
（2）函数的概念和图象
理解函数的概念；理解函数的三种表示方法；理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；会运用函数图象理解和研究函数的性质．
了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．了解简单的分段函数，（不要求根据函数值求自变量的范围）．
了解函数奇偶性的含义．（对复合函数的一般概念和性质不作要求）． （3）指数函数
理解有理数指数幂的含义；理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质，会画指数函数的图象．
了解实数指数幂的意义，能进行幂的运算．
了解指数函数模型的实际案例，会用指数函数模型解决简单的实际问题． （4）对数函数
理解对数的概念及其运算性质；理解对数函数的性质，会画对数函数的图象． 了解对数换底公式，知道一般对数可以转化成自然对数或常用对数．
了解对数函数模型的实际案例；了解对数函数的概念；了解指数函数y?a与对数函数y?logax互为反函数（a?0,a?1）．
（不要求一般地讨论反函数的定义，不要求求已知函数的反函数）． （5）幂函数
11
了解幂函数的概念；结合函数y?x,y?x,y?x,y?,y?x2的图象，了解幂函数的图象变化
x23x 情况．
（6）函数与方程
了解二次函数的零点与相应的一元二次方程的根的联系．了解用二分法求方程近似解的过程，能借助计算器求形如：x?ax?b?0,a?bx?c?0,lgx?bx?c?0的方程的近似解．
（7）函数模型及其应用
了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用． （8）导数
理解导数的定义；能利用导数研究函数的单调性；能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题；感受导数在解决实际问题中的作用．
了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义；了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵． 了解基本初等函数的导数公式；了解导数的四则运算法则；能利用导数公式表的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
3．复习建议
（1）关于函数的定义域与值域
避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题．
求简单函数的定义域和值域中，“简单函数”指下列函数：y?ax?b,
3xcx?d,y?ax?b,y?ax,y?loga(mx?n),y?sinx,y?cosx等． ax?b（2）关于分段函数
简单（情境）的分段函数指：在定义域的子集上的函数为常数、一次、反比例、二次函数的分段函数．例如：出租车收费、邮资、个人所得税等问题．
（3）关于奇偶性
对一般函数的奇偶性，不要做深入讨论． （4）关于反函数
不要求讨论一般形式的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数． （5）用二分法求方程的近似解
关键是结合具体例子感受过程与方法．本方法限于用计算器求三类方程： x3?ax?b?0,ax?bx?c?0,lgx?bx?c?0的近似解．
（6）关于导数
重视导数在研究函数与实际生活中的应用的教学，发挥导数的工具作用．要注意运用学生熟悉的数学问题、生产与生活中的实际问题，帮助学生增强数学应用的意识，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值． y?ax2?bx?c,y?
【典型例题】
例1（填空题）
?2x?1，x?1，?（1）设f(x)??1则f(f(2))的值是 ．
，x≥1，??x解析：课标对分段函数要求能简单应用，直接代入得答案为0．
（2）设????1,,,3?，则使函数y?x?的定义域为R且为奇函数的?的值为 ． 解析：逐个检验，答案为3．课标中增加了幂函数知识点，
掌握简单应用．
（3）若a?2，b?logπ3，c?log2sin则a,b,c从小到大的顺序为 ．
0.5??12?23?属于了解范围，
y 2π， 5x 0 1 3 解析：利用估值法知a大于1，b在0与1之间， c小于0.∴c?b?a．大小比较也是高考较常见的题型，
希望引起注意． （第（4）题图）
（4）设a?R，函数f(x)?x2?2x?2a.若f(x)?0的解集为A，B??x|1?x?3?，A的取值范围是 ．
解析：结合图象分类讨论，f(x)?x2?2x?2a＝（x?1)2?1?2a．对称轴为x?1．
若f?1??0，则f(x)?0的解集为R，满足AB??；若f?1?＝0，则f(x)?0的解集为xx?1，
B??，实数a
??（1,3）)＝0在满足AB??；若f?1?＜0，则只要f(3)?0，则f(x内有根，满足AB??；解得a?求解本题试试看？②f(x)?0?2a?x2?2x试试看？（同学会误认为是恒成立问题）
（5）读下列命题，请把正确命题的序号都填在横线上 ．
①函数f(x)?3．图2象法．函数图象在课标中是较高要求，体现数形结合思想．另①把函数改为f(x)?ax2?2x?2a，其它不变，
x 的值域为??1,1?； 1?x②已知f(x)是R上的函数且满足f(x?2)?f(x)，当x??1,2?时，f(x)?2?x，则
f(2007.5?)0. ；
③若函数f(x)对定义域中x总有f(1?x)?f(1?x)，则f(x)是奇函数； ④函数y?log2(x2?2x?3)的单调增区间是(1,??)．
解析：③不正确，对称轴是x?1，④不正确，应为(3,??)．正确答案是：①②． （6） 函数y?|log1x|的定义域[a,b]，值域[0,2]，
2则区间[a,b]的长度b?a的最小值是 ．
2 y 1解析：结合图象：当x?4或x?时，y?2．
40.25 1 4 13x 所以，当a?,b?1时b?a的最小值是．
443（7）若方程x?x?2?0在区间(a,b)(a,b?Z,且b?a?1)上有一根，则a的值为 ．
3解析：画出f(x)?x?x?2的大致图象，估算f(?2)与f(?1)的值，知a??2．
（8）设直线y?1x?b是曲线y?lnx(x?0)的一条切线，则实数b的值为 ． 2111，令?，得x＝2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程得
x2xb＝ln2－1．本题主要考查导数的意义（切线的斜率）．类似地，要能从函数的图像中读懂导数的意义，能理解函数及其相应的导函数图像间的关系．
解析：∵y??（9）设函数y?f(x)?ax3?bx2?cx?d的图像与y轴的交点为P点，曲线在点P处的切线方程为12x?y?4?0．若函数在x?2处取得极值0，则函数的单调减区间为 ．
解析：切线与y轴的交点为P(0，-4)，?d??4，又f?(x)?3ax2?2bx?c，f?(0)?c?12，f?(2)?0,f(2)?0，解得a?2,b??9,c?12,d??4．
?f?(x)?6x2?18x?12，f?(x)?0，解得1?x?2．所求的单调减区间为：(1,2)．
本题参数较多，须逐个翻译题设．
（10）已知函数f(x)?x2?cosx，对于??，?上的任意x1，x2，有如下条件：①x1?x2；
22
22②x1； ③x1?x2．其中能使f(x1)?f(x2)恒成立的条件序号是 ． ?x22解析：函数f(x)?x?cosx显然是偶函数，其导数f?(x)?2x?sinx在0?x??ππ????2时，显然也大
22于0，是增函数，使f(x1)?f(x2)恒成立的条件是f(|x1|)?f(|x2|)，∴|x1|?|x2|，∴x1；当?x2x1=
??,x2=-时，①③均不成立．故填②．自觉应用导数，函数的图像，奇偶性等性质解题，培养学221?x2例2 求函数y?的值域． 21?x解法一：令1?x?t(t?1)，则y?2生转化意识、化归意识．
2?1?(?1,1]． t?2x(1?x2)?(1?x2)2x4x解法二：y?? ??2222(1?x)(1?x)列表 x f?(x) （－∞，0） ＋ 增 0 0 极大值 （0，＋∞） － 减 f(x) ∴当x?0时，函数取得极大值，也是最大值1；当x???时，f(x)??1， ∴函数的值域为(?1,1]．
例3 在边长为60的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），
做成一个无盖的方底铁皮箱．箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
图（a） 图（b）
解：设小正方形的边长为x，则围成的长方体的体积为
V(x)?(60?2x)2x(0?x?30)，
， V?(x)?12(x2?40x?300)?0得x?10或x?30（舍去）当x?(0,10)时，V?(x)?0，V(x)为增函数， 当x?(10,30)时，V?(x)?0，V(x)为减函数，
所以，当x?10时，V(x)取得极大值也是最大值V(10)?16000（cm3）．
答：当箱子底边长等于40cm时，箱子容积最大，最大值为16000cm3．
说明：此题是教材中的一道例题，求解也并不困难，如果能适当创设问题情景，譬如设问：由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得的长方体容器的体积V2＞V1．
学生不难发现多种方案，如方案一：
A④ ⑤
③
DB ② C①
以①为底面，以②③④⑤为侧面，焊接成一个长方体；
方案二：将正方形作如图切割，然后以ABCD为底面，四个角分别拼接成四个矩形侧面． 进一步引导启发可以发现，问题即为已知x?4xy?3600，求V?xy的最大值． 通过精讲例题，培养学生的数学思维能力，探究创新能力，归纳概括能力．
222x例4 已知f(x)是(－1，1)上的奇函数，当x?(－1，0)时，f(x)?x．
4?1（1）求f(x)在(－1，1)上的解析式．
（2）判断f(x)在(0，1)的单调性，并给出证明．
2?x2x?x解：（1）当x?(0，1)时，?x?(－1，0)，f(?x)??x，
4?14?12x因为f(x)为奇函数．所以f(x)??f(?x)??x．
4?1又f(0)??f(?0)??f(0)，所以f(0)?0．
相关推荐：
loading