《医药数理统计方法》练习册学习指导

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（2）所求概率为

P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB) =0.2+0.3－0.08=0.42。

例6 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P(A)。

解：由题设可知因为A和B相互独立，则

P(AB) = P(A)P(B)，

再由题设可知

P(AB)?P(A)P(B)?P(AB)?P(AB)

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又因为

P(AB)?P(AB)，

即 P(A－B) = P(B－A)， 由事件之差公式得

P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)

则有P(A) = P(B)，从而有

P(A)?P(B)

故有

(P(A))?219, P(A)?13

即 P(A)?1?P(A)?23。

例7（1988年考研题） 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0，0.8，0.1和0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求

（1）顾客买下该箱的概率α；

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（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率β。

解：由于玻璃杯箱总共有三类，分别含0，1，2只残次品。而售货员取的那一箱可以是这三类中的任一箱，顾客是在售货员取的一箱中检查的，顾客是否买下这一箱是与售货员取的是哪一类的箱子有关系的，这类问题的概率计算一般可用全概率公式解决，第二问是贝叶斯公式也即条件概率问题。

首先令 A={顾客买下所查看一箱}；

B={售货员取的箱中恰好有i件残次品}，i=0，1，2。

显然，B0，B1，B2构成一组完备事件组。且

P(B0)?0.8,P(B1)?0.1,P(B2)?0.1,P(AB0)?1,P(AB1)?C194C2044?45,P(AB2)?C184C20?1219.

（1）由全概率公式，有

2??P(A)??P(B)P(AB)?0.8?1?0.1?5?0.1?19iii?0412?0.94

（2）由逆概率公式，得

??P(B0A)?P(B0)P(AB0)P(A)?0.8?10.94?0.85

注意：本题是典型的全概率公式与贝叶斯公式的应用。

例8．（小概率事件原理）设随机试验中某事件A发生的概率为ε，试证明，不论ε>0如何小，只要不断独立重复地做此试验，事件A迟早会发生的概率为1。

证：令 Ai={第i次试验中事件A发生}, i=1,2,3,? 由题意知，事件A1, A2, …, An, …相互独立且

P(Ai)=?，i=1,2,3,?，

则在n次试验中事件A发生的概率

P(A1?A2???An)=1－P(A1A2?An)

n=1－P(A1)P(A2)?P(An)?1?(1??)

当n→+∞, 即为事件A迟早会发生的概率

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P(A1?A2???An??)=lim1?(1??)n=1。

n???

四、习题二解答

1．考察随机试验：“掷一枚骰子，观察其出现的点数”。如果设

i={掷一枚骰子所出现的点数为i }, i=1,2,?,6

试用i来表示该试验的基本事件、样本空间Ω和事件A ={出现奇数点}和事件B={点数至少是4}。

解：基本事件：{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}。 样本空间Ω={ 0，1，2，3，4，5，6}。 事件A={1，3，5}；B={4，5，6}。 2．用事件A、B、C表示下列各事件： （1）A出现，但B、C不出现； （2）A、B出现，但C不出现； （3）三个都出现；

（4）三个中至少有一个出现； （5）三个中至少有两个出现； （6）三个都不出现； （7）只有一个出现； （8）不多于一个出现； （9）不多于两个出现。

解：（1）ABC （2）ABC （3）ABC

（4）ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC

或A+B+C或??ABC （5）ABC?ABC?ABC?ABC （6）ABC或?－(A+B+C)或A?B?C （7）ABC+ABC+ABC

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（8）ABC+ABC+ABC+ABC

（9）ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC

或?－ABC或ABC

3．从52张扑克牌中，任取4张，求这四张花色不同的概率。

解：现将从52张扑克牌中任取4张的每种取法作为每个基本事件，其结果与顺序无关，故可用组合数来解决该古典概型问题。

P?mn?C13C13C13C13C5241111?13452?51?50?49/4!?0.1055。

4．在一本标准英语词典中共有55个由两个不同字母组成的单词，现从26个英文字母中任取两个字母排成一个字母对，求它恰是上述字典中单词的概率。

解：现将从26个英文字母中任取两个字母件的每种取法作为每个基本事件，其结果与顺序有关，故可用排列数来解决该古典概型问题。

P?mn?55A226?5526?25?0.0846。

5．某产品共20件，其中有4件次品。从中任取3件，求下列事件的概率。（1）3件中恰有2件次品；（2）3件中至少有1件次品；（3）3件全是次品；（4）3件全是正品。

解：现将从20件产品中任取3件的每种取法作为每个基本事件，其结果与顺序无关，故可用组合数来解决该古典概型问题。

（1）P(A)?mn?C4C16C32021?0.0842；

C16C20033（2）P(B)?1?P(B)?1?mn122mn1?1?3?1?0.4912?0.5088

或P(B)??C4C16?C4C16?C4C16C20?C4333?0.5088；

（3）P(C)?mnC20?0.0035；

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