圆锥曲线专题（一、二、三）

圆锥曲线专题（一）——四点共圆问题 姓名

一、高考原题

y2?1上的两点，题1 （2001年广东、江苏卷第20题）设A、B是双曲线x?点N(1,2)是线段AB22的中点.

(1)求直线AB的方程；

(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什

么？

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题2 （2005年湖北卷，理科第21题）设A、B是椭圆3x2?y2??上的两点，点N(1,3)是线段

AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. （1）确定?的取值范围，并求直线AB的方程；

（2）试判断是否存在这样的?，使得A、B、C、D四点在同一圆上？说明理由.

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二、类比推广

对于抛物线，有没有类似结论呢？下面我们来探究这个问题

设A、B是抛物线y?ax2(a?0)上的两点，点N(x0,y0)是线段AB的中点，如果线段AB的垂

直平分线与抛物线交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？

定理1 如果A、B是标准圆锥曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与该圆锥曲线相交于C、D两点，那么当且仅当直线AB的斜率为?1时，A、B、C、D四点共圆.

定理2 如果标准圆锥曲线上的两条弦的倾斜角互补，那么这两条弦的四个端点共圆.

定理3 如果标准圆锥曲线上的两条弦的四个端点共圆.，那么这两条弦的倾斜角互补.

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三、应用举例

?x2y21.设椭圆??1，过点P(1,1)且倾斜角为?和???(0???)的两直线分别与椭圆交于A、C和

432B、D四点.

（1）证明：A、B、C、D共圆；

（2）用?表示该圆的面积S，并求S的最小值.

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