2019年高考数学压轴题 专题05 零点存在定理中取点问题(原卷版)

专题五 零点存在定理中取点问题

如果函数y?f?x?在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f?a?f(b)?0，那么，函数y?f?x?在区间(a,b)内有零点，即存在c?(a,b)，使得f?c??0，这个c也就是方程f?x??0的根.在实际应用中，如何取a,b，是解决问题的难点.

类型一 利用方程的根或部分代数式的根取点 典例1 已知函数f?x??x?ax?1. xe（1）当a?1时，求y?f?x?在x??1,1上的值域； （2）试求f?x?的零点个数，并证明你的结论.

类型二 利用放缩法取点

??

典例2已知b?0，且b?1，函数f?x??e?b，其中e为自然对数的底数：

xx

（1）如果函数f?x?为偶函数，求实数b的值，并求此时函数的最小值；

（2）对满足b?0，且b?1的任意实数b，证明函数y?f?x?的图像经过唯一的定点； （3）如果关于x的方程f?x??2有且只有一个解，求实数b的取值范围.

类型三 利用尝试法取点

典例3 已知函数f?x??{x2?2ax?a?1,x?0,ln??x?,x?0,零点，则实数a的取值范围是________.

g?x??x2?1?2a.若函数y?f?g?x??有4个

1. 设函数f(x)?12，曲线y?f(x)x?(a?b)x?ablnx（其中e为自然对数的底数，a?e,b?R）

212在点(e,f(e))处的切线方程为y??e2. （1）求b；

[来源:学科网]（2）若对任意x?[,??)，f(x)有且只有两个零点，求a的取值范围.

1e