2020-51MCM-Problem C

2020年第十七届五一数学建模竞赛题目

C题 饲料混合加工问题

饲料加工厂需要加工一批动物能量饲料。饲料加工需要原料，如加工猪饲料需要玉米、荞麦、稻谷等。加工厂从不同的产区收购了原料，原料在收购的过程中由于运输、保鲜以及产品本身属性等原因，存在着效能率的问题（如1吨玉米可加工成0.7吨左右的玉米面）。这个数据在原料进厂之后可以通过随机抽样进行检测得到。

某饲料加工厂有9个加工窖，现有一批加工任务，要将16个加工原料（见表1）按照某种混合方案一次性放入加工窖中进行加工。一个加工窖的混合产品称为一个加工包。如果某加工原料重量不少于500千克，则可以单独成为一个加工包。因产品属性原因，要求品种代码10的加工原料不能单独成为一个加工包。每一个加工窖能够加工的重量有限定范围（见表2）。加工窖加工成本由点火成本（也称固定成本）与加工量成本（也称可变成本）构成，其他成本暂不考虑。表1提供了各加工原料的品种代码、总重量和效能率。表2提供了每一个加工窖能够加工的重量范围以及点火成本、加工量单位成本数据。

由于加工窖数量低于饲料加工原料的品种数，所以在加工前需要将若干个加工原料进行混合。为了保证加工后饲料的质量，要求混合的任何两个加工原料之间必须具有亲缘关系。工厂技术人员对每种加工原料进行了基因检测，得到了10个关键位点的基因序列（见表1），并规定，两个加工原料如果有N个相同位点的基因序列标记相同，就认为这两个加工原料的亲缘值为N（如果N大于0，则说明这两种加工原料之间具有亲缘关系），一个加工包中所有原料两两之间亲缘值的平均值称为亲缘度。例如品种代码1、2、5的加工原料混合成为一个加工包，假设品种代码1和品种代码2的亲缘值为5，品种代码1和品种代码5的亲缘值为3，品种代码2和品种代码5的亲缘值为5，那么它们的亲缘度就是(5+3+5)/3。如果一个加工包中只含有一种加工原料，则该加工包的亲缘度为10。本题仅从亲缘度角度考虑混合加工饲料的质量，亲缘度越高，饲料质量就越高。

请考虑下列问题：

1. 请研究16个加工原料两两之间的亲缘值，并进行统计性分析。

2. 将16个加工原料进行混合全部放入9个加工窖中。请建立数学模型，求出饲料质量最高的混

合方案并给出每个加工包的亲缘度。

3. 将16个加工原料进行混合全部放入9个加工窖中。请建立数学模型，求出平均能耗率超过80%

的加工包数量最多的混合方案并给出每个加工包的能耗率，并将结果填入表3。

4. 如果饲料加工厂允许部分加工窖不生产，请建立数学模型，给出混合加工方案，用尽量低的加

工成本完成整个加工任务，同时要求平均能耗率超过80%的加工包尽量的多。 5. 如果饲料加工厂允许部分加工窖不生产，但必须完成整个加工任务。请建立数学模型，给出混

合加工方案使得（1）饲料质量尽量高，（2）加工成本尽量低，（3）平均能耗率超过80%的加工包尽量多。

表1 各加工原料的品种代码、总重量、效能率和基因序列标记 品种总重量代码 千克 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 300 500 200 500 300 400 300 300 400 600 100 600 500 400 300 300 效能率 0.88 0.60 0.93 0.90 0.90 0.78 0.70 0.83 0.95 0.87 0.65 0.75 0.8 0.68 0.87 0.83 位点基因序列（用字母简化表达） 1 a a f f f r r r c b m m b m b c 2 b b g g b m s s s m a c a c x c 1 3 c c h h h t t t a n m m n m n a 2 4 d d a i d u u u f i e e y y i f 3 5 e e j j e q k a v a a x c x c x 4 6 f o o l o f f b w z z h g g l h 5 7 g p p p p g g h a h a a m m b b 6 8 h k k f a a h i i f b b b b c c 7 900 600 1.6 9 i l l o o f f j j o a n m n m m 8 900 600 1.6 10 j m m p z z c c c z b a b b p j 9 900 600 1.6

加工窖编号 表2 加工窖加工的重量范围、点火成本、加工量单位成本 加工重量下限（千克） 加工重量上限（千克） 点火成本 （元） 加工量单位成本 （元/千克） 加工窖 加工原料 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 能耗率 300 300 300 600 600 600 400 400 400 500 500 500 2 2 2 1.8 1.8 1.8 600 600 600 900 900 900 1200 1200 1200 表3 问题3的结果（每个加工窖所含每种加工原料的重量，千克） 1 2 3 4 5 6 7 8 9