复变函数习题解答（第1章）

p44第一章习题(一)[ 13, 16, 17 , 20]

13. 试证arg z ( ?? < arg z ? ? )在负实轴(包括原点)上不连续，除此而外在z平面上处处连续．

【解】记f(z) = arg z，D = ?\\{ z?? | Im(z) = 0，Re(z) ? 0}，

D1 = { z?? | Re(z) > 0}，D2 = { z?? | Im(z) > 0}，D3 = { z?? | Im(z) < 0}． (1) 首先，f(z)在原点无定义，故f(z)在原点处不连续． (2) 设a??，且a < 0．则f(a) = ?．

考察点列zn = | a | (cos(1/n ? ?) + i sin(1/n ? ?) )，n??+．

显然，?? < 1/n ? ? ? ?，故f(zn) = 1/n ? ?．

而lim n?? zn = lim n?? ( | a | (cos(1/n ? ?) + i sin(1/n ? ?) ) ) = a，

但lim n?? f(zn) = lim n?? (1/n ? ?) = ? ? ? f(a)．故f(z)在a处不连续． (3) 下面证明f(z)在D1, D2, D3这三个区域上都连续．设z = x + i y，x, y??． (3.1) 在D1上，f(z) = arctan(y/x)，因arctan(y/x)是{(x, y)??2 | x > 0 }上的二元连续函数，故f(z)是D1上的连续函数．

(3.2) 在D2上，f(z) = arccot(x/y)，因arccot(x/y)是{(x, y)??2 | y > 0 }上的二元连续函数，故f(z)是D2上的连续函数．

(3.3) 在D3上，f(z) = arccot(x/y) ? ?，因arccot(x/y) ? ?是{(x, y)??2 | y < 0 }上的二元连续函数，故f(z)是D3上的连续函数．

(4) 最后证明f(z)是D = ?\\{ z?? | Im(z) = 0，Re(z) ? 0}上的连续函数． ?a?D，因为D = D1 ? D2 ? D3，故存在k (k = 1, 2, 3)，使得a?Dk． 因Dk是开集故存在r > 0，使得Ur(a) = { z?? | | z – a | < r } ? Dk．

根据(3)，f(z)在Dk上是连续的，故?? > 0，?? > 0，使得

? z?Dk，当| z – a | < ?时，| f(z) ? f(a) | < ?．

设? = min { r, ? }，则? z?D，当| z – a | < ?时，z?Ur(a) ? Dk， 又因| z – a | < ? < ?，故必有| f(z) ? f(a) | < ?． 所以，f在a处连续．

由a的任意性，f(z)是上的连续函数．

[连续性部分的证明可以用几何的方法，而且写起来会简单些．但我们之所以选择这个看起来很复杂的方法，是可以从这里看出?(z) = arg(z)作为(x, y)的二元函数，在D1, D2, D3上都有很明显的可导的表达式，因此它在区域D上不仅是连续的，而且是连续可导二元函数：?x = y/(x2 + y2)，?y = ? x/(x2 + y2)．

证明中的第四部分并不是多余的，这是因为若f在两个集合A, B上都连续(即使它们有公共的部分)，一般说来，并不能保证f在两个集合A?B上也连续．

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问题：若f在区域A, B上都连续，且A ? B ? ?，问f在A?B上是否必连续？]

16. 试问函数f(z) = 1/(1 – z )在单位圆| z | < 1内是否连续？是否一致连续？ 【解】(1) f(z)在单位圆| z | < 1内连续．

因为z在?内连续，故f(z) = 1/(1 – z )在?\\{1}内连续(连续函数的四则运算)，因此f(z)在单位圆| z | < 1内连续．

(2) f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续． 令zn = 1 – 1/n，wn = 1 – 1/(n + 1)，n??+．

则zn, wn都在单位圆| z | < 1内，| zn ? wn | ? 0，

但| f(zn) ? f(wn) | = | n ? (n + 1) | = 1 > 0，故 f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续． [也可以直接用实函数f(x) = 1/(1 – x )在(0, 1)不一致连续来说明，只要把这个实函数看成是f(z)在E = { z?? | Im(z) = 0, 0 < Re(z) < 1 }上的限制即可．]

17. 试证：复数列zn = xn + i yn以z0 = x0 + i y0为极限的充要条件是实数列{xn}及{yn}分别以x0及y0为极限．

【解】(?) 若复数列zn = xn + i yn以z0 = x0 + i y0为极限， 则?? > 0，?N??+，使得?n > N，有| zn ? z0 | < ?．

此时有| xn ? x0 | ? | zn ? z0 | < ?；| yn ? y0 | ? | zn ? z0 | < ?． 故实数列{xn}及{yn}分别以x0及y0为极限．

(?) 若实数列{xn}及{yn}分别以x0及y0为极限，则?? > 0， ?N1??+，使得?n > N1，有| xn ? x0 | < ?/2； ?N2??+，使得?n > N2，有| yn ? y0 | < ?/2．

令N = max{N1, N2}，则?n > N，有n > N1且n > N2，

故有| zn ? z0 | = | (xn ? x0) + i (yn ? y0) | ? | xn ? x0 | + | yn ? y0 | < ?/2 + ?/2 = ?． 所以，复数列zn = xn + i yn以z0 = x0 + i y0为极限．

20. 如果复数列{zn}合于lim n?? zn = z0 ? ?，证明lim n?? (z1 + z2 + ... + zn)/n = z0． 当z0 ? ?时，结论是否正确？

【解】(1) ?? > 0，?K??+，使得?n > K，有| zn ? z0 | < ? /2． 记M = | z1 ? z0 | + ... + | zK ? z0 |，则当n > K时，有

| (z1 + z2 + ... + zn)/n ? z0 | = | (z1 ? z0) + (z2 ? z0) + ... + (zn ? z0) |/n ? ( | z1 ? z0 | + | z2 ? z0 | + ... + | zn ? z0 |)/n

= ( | z1 ? z0 | + ... + | zK ? z0 |)/n + ( | zK +1 ? z0 | + ... + | zn ? z0 |)/n ? M/n + (n ? K)/n · (? /2) ? M/n + ? /2． 因lim n?? (M/n) = 0，故?L??+，使得?n > L，有M/n < ? /2． 令N = max{K, L}，则当n > K时，有

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| (z1 + z2 + ... + zn)/n ? z0 | ? M/n + ? /2 < ? /2 + ? /2 = ?． 所以，lim n?? (z1 + z2 + ... + zn)/n = z0．

(2) 当z0 ? ?时，结论不成立．这可由下面的反例看出． 例：zn = (?1)n · n，n??+．显然lim n?? zn = ?． 但?k??+，有(z1 + z2 + ... + z2k)/(2k) = 1/2，

因此数列{(z1 + z2 + ... + zn)/n}不趋向于?．

[这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同，甚至反例都是一样的．]

p45第一章习题(二)[ 6, 8, 9, 11, 12 ]

6. 设| z | = 1，试证：| (a z + b)/(b* z + a* ) | = 1．(z*表示复数z的共轭) 【解】此题应该要求b* z + a* ? 0．

| a z + b | = | (a z + b)* | = | a* z* + b* | = | a* z* + b* | · | z | = | (a* z* + b*) · z | = | a* z* · z + b* · z | = | a* | z |2 + b* · z | = | b* z + a* |． 故| (a z + b)/(b* z + a* ) | = 1．

8. 试证：以z1, z2, z3为顶点的三角形和以w1, w2, w3为顶点的三角形同向相似的充要条件为

z1z2z3w1w2w311= 0． 1【解】两个三角形同向相似是指其中一个三角形经过(一系列的)旋转、平移、位似这三种初等几何变换后可以变成另一个三角形(注意没有反射变换)．例如

z'2z2z'32. 旋转w3z''3z31. 平移z''1z'1w1z''2w23. 位似z1

我们将采用下述的观点来证明：

以z1, z2, z3为顶点的三角形和以w1, w2, w3为顶点的三角形同向相似的充要条件是：将它们的一对对应顶点都平移到原点后，它们只相差一个位似旋转． 记f1(z) = z ? z1 (将z1变到0的平移)；f3(z) = z ? w1 (将0变到w1的平移)； 那么，三角形z1z2z3与三角形w1w2w3同向相似

3

? 存在某个绕原点的旋转位似变换f2(z) = z0 z， 使得f2 ( f1(zk)) = f3(wk)，(k = 2, 3)，其中z0??\\{0} ? 存在z0??\\{0}，使得z0(zk ? z1) = wk ? w1，(k = 2, 3) ? (w2 ? w1)/(z2 ? z1) = (w3 ? w1)/(z3 ? z1) ?

z2?z1w2?w1z3?z1w3?w= 0

1001?

z2?z1w2?w11= 0 z3?z1w3?w11z1w11?

z2w21= 0．[证完] z3w31

9. 试证：四个相异点z1, z2, z3, z4共圆周或共直线的充要条件是 (z1 – z4)/(z1 – z2) : (z3 – z4)/(z3 – z2)为实数．

【解】在平面几何中，共线的四个点A, B, C, D的交比定义为

(A, B; C, D) = (AC/CB) : (AD/DB)．

这是射影几何中的重要的不变量．

类似地，在复平面上，(不一定共线的)四个点z1, z2, z3, z4的交比定义为

[z1z2, z3z4] = (z1 – z3)/(z2 – z3) : (z1 – z4)/(z2 – z4)．

本题的结论是说：复平面上四个点共圆或共线的充要条件是其交比为实数． (?) 分两种情况讨论

(1) 若(z1 – z4)/(z1 – z2)为实数，则(z3 – z4)/(z3 – z2)也是实数． 设(z1 – z4)/(z1 – z2) = t，t??．则z4 = (1 – t)z1 + t z2，

故z4在z1, z2所确定的直线上，即z1, z2, z4共线．

因此，同理，z1, z2, z3也共线．所以，z1, z2, z3, z4是共线的． (2) 若(z1 – z4)/(z1 – z2)为虚数，则(z3 – z4)/(z3 – z2)也是虚数． 故Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2)) ? k?，Arg ((z3 – z4)/(z3 – z2)) ? k?． 而Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2)) – Arg ((z3 – z4)/(z3 – z2)) = Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2) : (z3 – z4)/(z3 – z2)) = k?．

注意到Arg ((z – z4)/(z – z2)) = Arg ((z4 – z)/(z2 – z))是z2 – z到z4 – z的正向夹角，若Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2)) = Arg ((z3 – z4)/(z3 – z2))，

则z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧，且它们对z2, z4所张的角的大小相同， 故z1, z2, z3, z4是共圆的．

若Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2)) = Arg ((z3 – z4)/(z3 – z2)) + ?，

则z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧，且它们对z2, z4所张的角的大小互补， 故z1, z2, z3, z4也是共圆的． (?) 也分两种情况讨论

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