与奇偶性、周期性结合.
常见的命题角度有:
(1)三角函数的周期性;(2)三角函数的对称性;(3)三角函数的单调性.
[题点全练]
角度一:三角函数的周期性
ππ?
1.(2019·湖州期末)函数y=5sin??6-3x?的最小正周期为( ) A.6 2πC.
3
B.-6 2D.
32π
=6. ?-π??3?
解析:选A 函数的最小正周期为T=
5π?
2.(2017·天津高考)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f??8?=2,11π?f??8?=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( )
2π
A.ω=,φ= 312111π
C.ω=,φ=-
324
211π
B.ω=,φ=-
31217π
D.ω=,φ=
324
5π??11π?=0, 解析:选A ∵f?=2,f?8??8?∴
11π5πT
-=(2m+1),m∈N, 884
3π
,m∈N, 2m+1
∴T=
∵f(x)的最小正周期大于2π,∴T=3π, ∴ω=
22π2?=,∴f(x)=2sin??3x+φ?. 3π3
25ππ
×+φ?=2,得φ=2kπ+,k∈Z. 由2sin??38?12又|φ|<π,∴取k=0,得φ=角度二:三角函数的对称性
π
2x+?的图象的对称轴方程可以是( ) 3.(2018·嘉兴期末)函数f(x)=sin?3??π
A.x=
12π
C.x=
3
B.x=
5π 12
π. 12
π
D.x= 6
kππππ
解析:选A 由题可得,令2x+=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z.所以当k=0
32212时,函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x=
π
. 12
4.函数y=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称图形,则φ=________. 解析:由题意,得y=cos(3x+φ)是奇函数, π
故φ=kπ+(k∈Z).
2π
答案:kπ+(k∈Z)
2角度三:三角函数的单调性
ππ
ωx+φ+??ω>0,|φ|<?的最小正周期为π,5.(2019·浦江模拟)已知函数f(x)=2sin?4??2??且是偶函数,则( )
π
0,?内单调递减 A.f(x)在??2?π3π?
B.f(x)在??4,4?内单调递减 π
0,?内单调递增 C.f(x)在??2?π3π?
D.f(x)在??4,4?内单调递增
解析:选A 因为函数f(x)的最小正周期为π,所以ω=2.因为函数f(x)是偶函数,且|φ|ππ
<,所以φ=.所以 24
ππ
2x+?=2cos 2x,所以函数f(x)在?0,?内单调递减. f(x)=2sin?2???2?[通法在握]
1.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的奇偶性、周期性和对称性
(1)若f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当x=0时,f(x)取得最大或最小值;若f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当x=0时,f(x)=0.
(2)对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.
2.求三角函数单调区间的2种方法
(1)代换法:就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t),利用基本三角函数的单调性列不等式求解.
(2)图象法:画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求它的单调区间.
[演练冲关]
1.(2019·舟山模拟)若函数f(x)=sin(φ-x)是奇函数,则φ的值可能是( ) πA.
6πC. 2
πB.
3D.π
解析:选D 因为函数f(x)是奇函数,所以φ=kπ(k∈Z).对比选项可知,φ的值可能是π.故选D.
π
ωx+?+sin ωx(ω>0)相邻两对称轴之间的距离为2,则ω=2.若函数f(x)=sin?3??________.
π1333
ωx+?+sin ωx=sin ωx+cos ωx+sin ωx=sin ωx+cos ωx=解析:f(x)=sin?3??2222π2π
ωx+?,又因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2,所以T=4,所以=4,即ω3sin?6??ωπ=. 2
π
答案: 2
π3π
-,?上的单调减区间为_______. 3.函数y=|tan x|在??22?π3π
-,?上的单调解析:如图,观察图象可知,y=|tan x|在??22?ππ
-,0?和?,π?. 减区间为??2??2?
ππ
-,0?和?,π? 答案:??2??2?
一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.下列函数中,周期为π的奇函数为( ) A.y=sin xcos x C.y=tan 2x
B.y=sin2x
D.y=sin 2x+cos 2x
π
解析:选A y=sin2x为偶函数;y=tan 2x的周期为;y=sin 2x+cos 2x为非奇非偶
2函数,B、C、D都不正确,选A.
π
ωx+?在x=2处取得最大值,则正数ω的最小值为( ) 2.函数y=sin?6??ππ
A. B. 23ππC. D. 46
πππ
解析:选D 由题意得,2ω+=+2kπ(k∈Z),解得ω=+kπ(k∈Z),∵ω>0,∴
626π
当k=0时,ωmin=,故选D.
6
3.函数y= ππ-,? A.??66?ππ
kπ-,kπ+?(k∈Z) B.?66??
ππ
2kπ-,2kπ+?(k∈Z) C.?66??D.R
解析:选C ∵cos x-
33
≥0,得cos x≥, 22
cos x-3
的定义域为( ) 2
ππ
∴2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.
66
?0,π??的单调递增区间是4.(2018·浙江六校联考)函数y=3sin x+3cos x?x∈??2??
________.
ππππ2π
x+?,由2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),得-+解析:化简可得y=23sin??6?2623πππ
0,?,∴函数的单调递增区间是?0,?. 2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),又x∈??2??3?3
π
0,? 答案:??3?
ππ
2x+?在?0,?上的值域是________. 5.函数f(x)=sin?3??2??
πππ4ππππ
0,?,∴2x+∈?,?,∴当2x+=,即x=时,f(x)max=1.当解析:∵x∈??2?3?33?3212π4ππ3?3?2x+=,即x=时,f(x)min=-,∴f(x)∈-,1.
3322?2?
答案:-
?
?3?,1 2?
二保高考,全练题型做到高考达标
πππ0,?上单调递增,在区间?,?1.(2019·诸暨模拟)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间??3??32?上单调递减,则ω=( )
A.3 3
C.
2
B.2 2D.
3
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