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2020年浙江高考数学一轮复习:三角函数的图象与性质

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与奇偶性、周期性结合.

常见的命题角度有:

(1)三角函数的周期性;(2)三角函数的对称性;(3)三角函数的单调性.

[题点全练]

角度一:三角函数的周期性

ππ?

1.(2019·湖州期末)函数y=5sin??6-3x?的最小正周期为( ) A.6 2πC.

3

B.-6 2D.

32π

=6. ?-π??3?

解析:选A 函数的最小正周期为T=

5π?

2.(2017·天津高考)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f??8?=2,11π?f??8?=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( )

A.ω=,φ= 312111π

C.ω=,φ=-

324

211π

B.ω=,φ=-

31217π

D.ω=,φ=

324

5π??11π?=0, 解析:选A ∵f?=2,f?8??8?∴

11π5πT

-=(2m+1),m∈N, 884

,m∈N, 2m+1

∴T=

∵f(x)的最小正周期大于2π,∴T=3π, ∴ω=

22π2?=,∴f(x)=2sin??3x+φ?. 3π3

25ππ

×+φ?=2,得φ=2kπ+,k∈Z. 由2sin??38?12又|φ|<π,∴取k=0,得φ=角度二:三角函数的对称性

π

2x+?的图象的对称轴方程可以是( ) 3.(2018·嘉兴期末)函数f(x)=sin?3??π

A.x=

12π

C.x=

3

B.x=

5π 12

π. 12

π

D.x= 6

kππππ

解析:选A 由题可得,令2x+=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z.所以当k=0

32212时,函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x=

π

. 12

4.函数y=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称图形,则φ=________. 解析:由题意,得y=cos(3x+φ)是奇函数, π

故φ=kπ+(k∈Z).

答案:kπ+(k∈Z)

2角度三:三角函数的单调性

ππ

ωx+φ+??ω>0,|φ|<?的最小正周期为π,5.(2019·浦江模拟)已知函数f(x)=2sin?4??2??且是偶函数,则( )

π

0,?内单调递减 A.f(x)在??2?π3π?

B.f(x)在??4,4?内单调递减 π

0,?内单调递增 C.f(x)在??2?π3π?

D.f(x)在??4,4?内单调递增

解析:选A 因为函数f(x)的最小正周期为π,所以ω=2.因为函数f(x)是偶函数,且|φ|ππ

<,所以φ=.所以 24

ππ

2x+?=2cos 2x,所以函数f(x)在?0,?内单调递减. f(x)=2sin?2???2?[通法在握]

1.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的奇偶性、周期性和对称性

(1)若f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当x=0时,f(x)取得最大或最小值;若f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当x=0时,f(x)=0.

(2)对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.

2.求三角函数单调区间的2种方法

(1)代换法:就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t),利用基本三角函数的单调性列不等式求解.

(2)图象法:画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求它的单调区间.

[演练冲关]

1.(2019·舟山模拟)若函数f(x)=sin(φ-x)是奇函数,则φ的值可能是( ) πA.

6πC. 2

πB.

3D.π

解析:选D 因为函数f(x)是奇函数,所以φ=kπ(k∈Z).对比选项可知,φ的值可能是π.故选D.

π

ωx+?+sin ωx(ω>0)相邻两对称轴之间的距离为2,则ω=2.若函数f(x)=sin?3??________.

π1333

ωx+?+sin ωx=sin ωx+cos ωx+sin ωx=sin ωx+cos ωx=解析:f(x)=sin?3??2222π2π

ωx+?,又因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2,所以T=4,所以=4,即ω3sin?6??ωπ=. 2

π

答案: 2

π3π

-,?上的单调减区间为_______. 3.函数y=|tan x|在??22?π3π

-,?上的单调解析:如图,观察图象可知,y=|tan x|在??22?ππ

-,0?和?,π?. 减区间为??2??2?

ππ

-,0?和?,π? 答案:??2??2?

一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.下列函数中,周期为π的奇函数为( ) A.y=sin xcos x C.y=tan 2x

B.y=sin2x

D.y=sin 2x+cos 2x

π

解析:选A y=sin2x为偶函数;y=tan 2x的周期为;y=sin 2x+cos 2x为非奇非偶

2函数,B、C、D都不正确,选A.

π

ωx+?在x=2处取得最大值,则正数ω的最小值为( ) 2.函数y=sin?6??ππ

A. B. 23ππC. D. 46

πππ

解析:选D 由题意得,2ω+=+2kπ(k∈Z),解得ω=+kπ(k∈Z),∵ω>0,∴

626π

当k=0时,ωmin=,故选D.

6

3.函数y= ππ-,? A.??66?ππ

kπ-,kπ+?(k∈Z) B.?66??

ππ

2kπ-,2kπ+?(k∈Z) C.?66??D.R

解析:选C ∵cos x-

33

≥0,得cos x≥, 22

cos x-3

的定义域为( ) 2

ππ

∴2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.

66

?0,π??的单调递增区间是4.(2018·浙江六校联考)函数y=3sin x+3cos x?x∈??2??

________.

ππππ2π

x+?,由2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),得-+解析:化简可得y=23sin??6?2623πππ

0,?,∴函数的单调递增区间是?0,?. 2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),又x∈??2??3?3

π

0,? 答案:??3?

ππ

2x+?在?0,?上的值域是________. 5.函数f(x)=sin?3??2??

πππ4ππππ

0,?,∴2x+∈?,?,∴当2x+=,即x=时,f(x)max=1.当解析:∵x∈??2?3?33?3212π4ππ3?3?2x+=,即x=时,f(x)min=-,∴f(x)∈-,1.

3322?2?

答案:-

?

?3?,1 2?

二保高考,全练题型做到高考达标

πππ0,?上单调递增,在区间?,?1.(2019·诸暨模拟)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间??3??32?上单调递减,则ω=( )

A.3 3

C.

2

B.2 2D.

3

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