1.1.2 集合间的基本关系(徐应娟)
一、教学目标 （一）核心素养
本节课是集合的含义与表示的延续，核心是集合与集合间的“包含”、“真包含”、“相等”
关系，通过对集合间关系的探究，感受数学抽象、直观想象、逻辑推理，提高分析与解决数学问题的能力，熟悉数学探究基本特点．通过实例，了解子集、真子集、空集等概念，区分一些容易混淆的关系和符号，规范数学表达． （二）学习目标
1．在应用类比思想探究两个集合的包含和相等关系的过程中，体会辨证思想，能用数学的思维方式去认识世界，提高分析、解决问题的能力．
2．理解集合之间包含与相等的含义，在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强从具体到抽象的思维能力，体会数形结合的思想．
3．能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，能区别元素与集合间的属于关系和集合间的包含关系． （三）学习重点
1．子集、真子集、空集的概念． 2．集合间包含关系与相等关系的含义．
（四）学习难点
1．对子集、真子集、空集概念的正确理解． 2．对新学的数学符号的正确使用． 3．属于与包含之间的区别．
二、教学设计 （一）课前设计
1．预习任务
（1）读一读：阅读教材第6页至第7页，填空：
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）．
如果集合A是集合B的子集（A?B），且集合B是集合A的子集（B?A），此时，集
合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作A=B．
如果A?B，但存在元素x?B,且x?A,我们称集合A是集合B的真子集，记作AB（或
B?A）．
我们把不含任何元素的集合叫空集，记作?，并规定：空集是任何集合的子集． （2）写一写：写出集合{a,b}的所有子集． 0个元素的：?;
1个元素的：{a},{b}; 2个元素的：{a,b}．
（3）想一想：包含关系?与属于关系?有什么区别？
“?”与“?”的区别：“?”表示元素与集合之间的关系，如1?N,?1?N；“?”表示集合与集合之间的关系，如N?R，??R．
2．预习自测
（1）数0与集合 ?的关系是（ ）
A．0∈? B．0＝? C．{0}＝? D．0 ??
【答案】D．
（2）集合{1，2，3}的子集的个数是（ ） A．7
B．4 C．8
D．6
【答案】C．
（3）下列六个关系式中正确的个数为（ ）
①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}?{b，a}；③?＝{?}；④{0}＝?；⑤0∈{0}． A．2 B．5 C．4 D．3 【答案】D． (二)课堂设计 1．知识回顾
（1）一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
（2）如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a?A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a?A．
（3）除了用自然语言表示集合，还能用列举法、描述法表示集合．
2．问题探究
探究一 回顾旧知，提出新问 ●活动① 回顾旧知
问题：元素与集合之间的关系应如何表示？（可举例进行说明） 元素与集合间是“∈”或“?”的关系，如1∈{1，2，3}；0?{1，2，3}等．
【设计意图】检验学生上节课所学知识掌握情况，并为后续探究集合间的关系做好铺垫． ●活动② 创设情境，提出问题
对两个数a、b，应有a?b或a?b或a?b,对于两个集合A、B，它们之间有什么关系？ 【设计意图】结合学生已有知识经验，通过类比启发学生思考并积极探索集合间的关系．
探究二 探究集合间的关系、集合的子集以及集合的性质★▲ ●活动① 归纳提炼子集的概念
观察下面4个例子，指出给定两个集合中的元素有什么关系？每个例子中的两个集合又有什么关系呢？
（1）A?{1,2,3}，B?{1,2,3,4,5,6};
（2）C?{新华中学高一（2）班全体女生}，C?{新华中学高一（2）班全体学生}; （3）E＝{x︱x是等边三角形}，F＝{x︱x是三角形}；
（4）G＝{x︱x＞2}，H＝{x︱2x－1≥3}．
我们可以看到，（1）中的集合A中的任何元素都是集合B的元素，（2）中的集合C中的元素都是集合D中的元素，（3）中的集合E的任何元素都是集合F的元素，（4）中的集合G中的任何元素都是集合H中的元素．
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset），记作A?B(或B?A)，读作“A包含于B”（或“B包含A”）．
在数学中，除了用列举法、描述法来表示集合之外，我们还有一种更简洁、直观的方法——用平面上的封闭曲线的内部来表示集合Venn（韦恩）图．那么，集合A是集合B的子集用图
形表示如下：
B A A?B
【设计意图】通过实例的共性探究，感知子集的概念，并通过图形更加深入体会子集的含义及数形结合的思想．
●活动② 归纳提炼集合相等的概念
观察下面4个例子，各对集合中，有没有包含关系？ （1）A??1,3,5?,B??5,1,3?; （2）C?{1},D?{x|x?1?0};
（3）E＝{x︱x是等腰三角形}，F＝{x︱x是两条边相等的三角形}； （4）G＝{x︱x＞2}，H＝{x︱2x－1≥3}．
显然，A是B的子集，C是D的子集，E是F的子集，G是H的子集．反过来，B是A的子集，D是C的子集，F是E的子集，H是G的子集．
一般地，如果集合A是集合B的子集（A?B），且集合B是集合A的子集（B?A），此时，集合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作A?B．
【设计意图】通过实例的共性探究，感知集合相等的概念．在上一节课用元素完全相同表示集合相等的基础上 ，从子集的角度提升对集合相等的理解．
●活动③ 归纳提炼真子集的概念
问题1：若A?B，则集合A与B一定相等吗？ 不一定，比如活动②中的四个例子．
问题2：若A?B，则可能有A?B，也可能A?B．当 A?B，且A?B时，我们如何进行数学解释？
如果A?B，但存在元素x?B,且x?A,我们称集合A是集合B的真子集，记作A
B（或
B?A）．
【设计意图】在理解子集、集合相等的含义基础上，进一步提炼真子集的概念．
●活动④ 归纳提炼空集的概念
观察下面2个集合，它们有何共同特点？ （1）A?{x?R|x2?1?0}； （2）B?{x?R|x?2?0}． 显然，这两个集合中都没有元素．
我们把不含任何元素的集合叫空集，记作?． 规定：空集是任何集合的子集，即??A． 空集是任何非空集合的真子集，即?A.
【设计意图】通过实例的共性探究，感知空集这个比较难理解的抽象的概念． ●活动⑤ 类比实数大小关系，归纳子集基本性质
实数 对于实数a，有a?a； 集合 对于集合A，有A?A． 对于实数a,b,c,如果a?b,且b?c,那么a?c; 对于集合A,B,C,如果A?B,且B?C,那么A?C. 【设计意图】通过类比数的大小关系的结论，引导学生推导集合的两个性质． 探究三 识别给定集合的子集，判断给定集合间的关系★▲
●活动① 基础型例题 填写下表，并回答问题
原集合 ? 子集 ________ ________ ________ ________ 子集的个数 ________ ________ ________ ________ {a} {a,b} {a,b,c} 真子集个数呢？
由此猜想，含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数、非空子集及非空【知识点】子集与真子集、集合中元素个数的最值． 【数学思想】分类讨论思想．
【解题过程】?的子集只有它本身，子集有1个．
{a}的子集为：?，{a}；子集共2个．
{a,b}的子集为：?，{a}，{b}，{a,b}；子集共4个．
{a,b,c}的子集为：?，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}；子集共8个．
原集合 ? 【思路点拨】按子集元素个数为标准进行分类． 【答案】
子集 ? ?，{a} ?，{a}，{b}，{a,b} ?，{a}，{b}，{c}， 子集的个数 1 2 4 {a} {a,b} {a,b,c}
{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c} 8 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n－1个真子集，2n－1个非空子集，n个元素的非空真子集有2n－2个．
同类训练 已知集合M满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}，写出集合M． 【知识点】子集与真子集、集合中元素个数的最值． 【数学思想】分类讨论思想．
【解题过程】因为{1,2}?M，则1、2一定在M中．又因为M?{1,2,3,4,5}，则M中的元素一定在{1,2,3,4,5}中，即M中的元素不包含1、2、3、4、5以外的元素． 若M含有2个元素，则M?{1,2}；
若M含有3个元素，则M?{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,5}； 若M含有4个元素，则M?{1,2,3,4}或{1,2,3,5}或{1,2,4,5}； 若M含有5个元素，则M?{1,2,3,4,5}．
【思路点拨】通过集合间包含关系的含义按元素个数分类罗列．
【答案】M?{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.
【设计意图】从简单到复杂，从特殊到一般，归纳总结出集合子集个数与元素个数的关系，更加深入理解子集的含义．
例2 判断下列关系是否正确．
(1){1,2}{1,2,3}； (2){1,2,3}?{1,2,4}； (3){a}?{a}; (4)??{0}； (5)??{0}; (6)???． 【知识点】集合的包含关系判断及应用、集合相等． 【数学思想】
【解题过程】（1）集合{1,2}中的元素1、2都是集合{1,2,3}的元素，而集合{1,2,3}中的元素3不是集合{1,2}的元素，故{1,2}{1,2,3}正确； （2）因为3?{1,2,4}，所以{1,2,3}?{1,2,4}错误；
（3）任何一个集合是它本身的子集，因此{a}?{a}正确；
（4）?中没有任何元素，而{0}中有一个元素，两者不相等，故?＝{0}错误； （5）空集是任何非空集合的真子集，因此?{0}正确； （6）空集是任何集合的子集，因此???正确．
【思路点拨】通过子集、真子集、集合相等的含义及集合性质做出正确判断． 【答案】（1）、（3）、（5）、（6）正确，（2）、（4）错误． 同类训练 下列各式中错误的个数为( )
（1）1??0,1,2? (2)?1???0,1,2? (3)?0,1,2???0,1,2? (4)?0,1,2???2,0,1? A．1 B．2 C．3 D．4
【知识点】元素与集合关系的判断、集合的包含关系判断及应用、集合相等． 【数学思想】
【解题过程】（1）显然正确；（2）“?”是表示元素与集合间的关系，不能表示集合与集合之间的关系，因此?1???0,1,2?错误；（3）因为任何一个集合是它本身的子集，则
{0,1,2}?{0,1,2}正确；（4）因为集合{0,1,2}?{2,0,1}，且{2,0,1}?{0,1,2}，则{0,1,2}?{2,0,1}正确．
【思路点拨】通过子集、真子集、集合相等的集合间的关系及元素与集合的关系做出正确判断． 【答案】C．
【设计意图】巩固检查集合间的关系、元素与集合的关系．
●活动② 提升型例题 例3 已知集合A?{x|x?k?________．
【知识点】集合关系中的参数取值问题． 【数学思想】化归与转化思想． 【解题过程】方法一：(列举法)
1357
对于集合A，取k=…，0，1，2，3，…，得A={…，2，2，2，2，…}．
135
对于集合B，取k=…，0，1，2，3，4，5，…，得B={…，0，2，1，2，2，2，…}． 故AB．
方法二：(特征性质法) 集合A：x?集合B：x?则AB．
【思路点拨】通过列举法和特征性质法两种不同的方法进行分析，均可得到集合A、B之间的关系． 【答案】AB．
同类训练 设集合M?{x|x?2k?1,k?N*}，N?{x|x?2k?1,k?N*}则M，N之间的关系为( ) A．M
N B．M?N C．M?N D．M=N
11,k?Z}，B?{x|x?k,k?Z}，则A与B的关系为222k?1(k?Z)，分子为奇数． 2k(k?Z)，分子为整数． 2【知识点】集合关系中的参数取值问题． 【数学思想】化归与转化思想．
【解题过程】M?{3,5,7,9,11,13?}，N?{1,3,5,7,9,11,13?}，则MN．
【思路点拨】将两个用描述法表示的集合转化成列举法表示的集合． 【答案】A．
【设计意图】巩固检查集合的表示法，提高转化的思维能力．
例4 设集合A?{x|?3?x?2}，B?{x|2k?1?x?k?1}且B?A，求实数k的取值范围．
【知识点】集合的包含关系判断及应用、集合关系中的参数取值问题． 【数学思想】数形结合思想．
【解题过程】因为B?A，所以B??或B??． 当B??时，有2k?1?k?1，解得k?2．
?2k?1?k?1,?当B??时，有?2k?1??3, 解得?1?k?1．
?k?1?2,?综上，?1?k?1或k?2．
【思路点拨】关注真子集的含义，结合图形解决． 【答案】?1?k?1或k?2．
同类训练 已知集合A?{x|1?x?4}，B?{x|x?a}，且A B，求实数a的取值集合． 【知识点】集合的包含关系判断及应用、集合关系中的参数取值问题． 【数学思想】数形结合思想．
【解题过程】将数集A表示在数轴上(如下图)，要满足A B，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的集合为{a|a?4}．
【思路点拨】关注真子集的含义，结合图形解决． 【答案】{a|a?4}．
【设计意图】巩固检查真子集的含义，体会数形结合的思想． ●活动③ 探究型例题
例5 已知集合A?{1,3,x2}，B?{1,x?2}，是否存在实数x，使得集合B是A的子集？若存在，求出A，B，若不存在，说明理由．
【知识点】集合的包含关系判断及应用、集合关系中的参数取值问题、集合的确定性、互异性、无序性．
【数学思想】分类讨论思想．
【解题过程】因为B?A，所以x+2=3或x2． 当x+2=3，即x=1时，A={1,3,1}不满足互异性． 当x?2?x2，即x=2或x=-1．
若x=2时，A={1,3,4}，B={1,4}，满足B?A． 若x=-1时，A={1,3,1}不满足互异性． 综上，存在x=2使得B?A． 此时，A={1,3,4}，B={1,4}．
【思路点拨】结合集合的确定性、互异性、无序性分清况讨论x的值和集合A、B． 【答案】存在x=2使得B?A．此时，A={1,3,4}，B={1,4}．
同类训练 若集合A?{x|x2?x?6?0}，B?{x|mx?1?0}，且B?A．求由m的可取值组成的集合．
【知识点】集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数取值问题，集合的确定性、互异性、无序性．
【数学思想】分类讨论思想．
【解题过程】易得A?{?3,2}，当m?0时，B??，有B?A． 当m?0时，方程mx?1?0的解为x??又因为B?A，则?1， m1111??3或??2，即m??或m??． mm3211故所求集合为{0,,?}．
32【思路点拨】先确定集合A的元素，再结合集合的确定性、互异性、无序性分清况讨论m的值和集合B．
11【答案】{0,,?}．
32【设计意图】巩固检查子集的含义，锻炼分类讨论问题的能力． 3．课堂总结
知识梳理
（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset），记作A?B(或B?A)，
读作“A包含于B”（或“B包含A”）．
（2）如果集合A是集合B的子集（A?B），且集合B是集合A的子集（B?A），此时，集合A 与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作A=B．
（3）如果A?B，但存在元素x?B,且x?A,我们称集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）．
（4）不含任何元素的集合叫空集，记作?．
（5）空集是任何集合的子集，即??A；空集是任何集合的真子集，即?A；任何一个集合都是它自己的子集，即A?A;对于集合A,B,C,如果A?B,且B?C,那么A?C.
重难点归纳
（1）元素与集合间的关系用“∈”、“?”来表示，集合与集合间的关系用“?”、“”、“=”来
表示．
（2）集合与集合间的关系涉及到含参数问题时，要注意分类讨论，并能用元素的互异性
进行检验． （三）课后作业 基础型 自主突破
1．下列集合中表示空集的是( ) A．{x?R|x?5?5} B．{x?R|x?5?5}
C．{x?R|x2?0} D．{x?R|x2?x?1?0} 【知识点】空集的定义、性质及运算． 【数学思想】
【解题过程】因为A,B,C中分别表示的集合为{0}，{x|x?0}，{0}，则都不是空集；又因为x2?x?1?0无解，则{x?R|x2?x?1?0}表示空集． 【思路点拨】根据空集的含义进行判断． 【答案】D．
2．集合{1，2，3}的子集的个数是( ) A．7 B．4 C．6 D．8
【知识点】子集与真子集、集合中元素个数的最值．
【数学思想】分类讨论思想．
【解题过程】根据探究结论得该集合的子集个数为23?8． 【思路点拨】根据集合子集的个数与集合元素的个数关系求得． 【答案】D．
Q?{y|y?x?1,x?P}，3．已知集合P?{1,2,3,4}，那么集合M?{3,4,5}与Q的关系是( ) A．M?Q B．M?Q C．M
Q D．M?Q
【知识点】集合的表示法、子集与真子集． 【数学思想】
P?{1,2,3,4}，M【解题过程】因为Q?{y|y?x?1,x?P}，则Q＝{2，3，4，5}．因此，【思路点拨】先求出集合Q，再判断集合M与集合Q的关系． 【答案】C．
Q ．
b4．设a,b?R，集合{1,a?b,a}?{0,,b}，则b?a等于( )
aA．1 B．－1 C．2 D．－2 【知识点】集合的相等． 【数学思想】
【解题过程】因为a?0，所以a?b?0,b??1，即b?1,a??1.因此，b?a?2，选C． a【思路点拨】结合集合的确定性、互异性、无序性分清况讨论a、b的值． 【答案】C．
5．已知集合A?{?1,3,m}，集合B?{3,4}，若B?A，则实数m?________． 【知识点】子集与真子集、集合关系中的参数取值问题． 【数学思想】
【解题过程】因为B?A，B?{3,4}，A?{?1,3,m}，所以m?4． 【思路点拨】根据集合的包含关系确定两集合元素间的关系． 【答案】4．
6．已知M?{y|y?x2?2x?1,x?R}，N?{?2?x?4}，则集合M与N之间的关系是________．
【知识点】集合的包含关系判断及应用．
【数学思想】
【解题过程】因为y?x2?2x?1?(x?1)2?2??2，则M?{y|y??2}．又因为
N?{?2?x?4}，则NM．
【思路点拨】先用配方法求解集合M，再判断集合M和集合N的关系． 【答案】N能力型 师生共研
7．已知集合A{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A的个数为( ) A．6 B．5 C．4
【知识点】集合的包含关系判断及应用． 【数学思想】分类讨论思想．
【解题过程】因为A中至少含有一个奇数，所以A可能含有1个奇数，也可能含有2个 奇数．若A只含有1个奇数，则A?{1}或{3}；若A含有2个奇数，则A?{1,3}．因此，满足条件的A有4个．
【思路点拨】对集合A中奇数元素按个数分类讨论． 【答案】D．
8．设集合A?{1,3,a}，B?{1,a2?a?1}，B?A，求a的值． 【知识点】元素与集合的关系、集合的包含关系判断及应用． 【数学思想】
【解题过程】因为B?A，所以B中元素1,a2?a?1都是A中的元素，故分两种情况． (1)a2?a?1?3，解得a?－1或2，经检验满足条件． (2)a2?a?1?a，解得a?1，此时A中元素重复，舍去． 综上所述，a?－1或a?2．
【思路点拨】利用元素与集合关系、集合的包含关系构造方程组或数量关系求解． 【答案】a?－1或a?2． 探究型 多维突破
9． 已知集合A??2,x,y?,B??2x,2,y2?且A?B，求x,y的值． 【知识点】集合的确定性、互异性、无序性、集合的相等． 【数学思想】分类讨论思想．
D．3
M．
【解题过程】因为A??2,x,y?,B??2x,2,y2?且A?B，
1?x???x?2x?x?y2?x?0?x?0?4． 则?，或；即（舍去），或，或????2?y?0?y?1?y?y?y?2x?y?1?2?
【思路点拨】利用元素与集合关系、集合的相等关系构造方程组或数量关系求解．
1?x???x?0?4． 【答案】?，或??y?1?y?1?2?b10．a,b是实数，集合A?{a,,1}，B?{a2,a?b,0}，若A?B，求a2015?b2016．
a【知识点】集合的相等、集合关系中的参数取值问题． 【数学思想】分类讨论思想．
【解题过程】因为A?B，所以b?0，A?{a,0,1}，B?{a2,a,0}，即a2?1，得a??1．若
a?1，则A?{1,0,1}不满足互异性，舍去；若a??1，A?{?1,0,1}满足题意．因此，
a2015?b2016??1．
【思路点拨】利用元素与集合关系、集合的相等关系构造方程组或数量关系求解． 【答案】a2015?b2016??1． 自助餐
1．集合{1，2，3}的所有真子集的个数为( ) A．3 B．6 C．7 D．8 【知识点】子集与真子集． 【数学思想】
【解题过程】该集合的真子集个数为23?1?7． 【思路点拨】利用元素个数与真子集个数的关系求得． 【答案】C．
2．已知集合M?{4,7,8}，且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有( ) A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【知识点】集合的含义、元素与集合的关系．
【数学思想】
【解题过程】M可能为?，{7}，{4}，{8}，{7,4}，{7,8}共6个． 【思路点拨】根据集合元素满足的要求得，注意空集不能漏掉． 【答案】B．
3．下列命题正确的是( )
A．无限集的真子集是有限集 B．任何一个集合必定有两个子集 C．自然数集是整数集的真子集 D．{1}是质数集的真子集 【知识点】子集与真子集． 【数学思想】
【解题过程】无限集的真子集有可能是无限集，如N是R的真子集，A错误;由于?只有一个子集，即它本身，B错误;由于1不是质数，D错误．显然自然数集是整数集的真子集，C正确．
【思路点拨】逐一通过集合间的关系进行检验，注意子集、真子集的概念． 【答案】C．
4．已知集合A??x|x2?3x?2?0?,B??x|ax?1?0?若B【知识点】子集与真子集． 【数学思想】
【解题过程】易知A?{1,2}．如果a?0，则B??，满足BA，则实数a的值为＿＿．
1A．如果a?0，则B?{}．又
a因为BA，则
111?1或2，即a?1或．综上，a?0,1或． a22【思路点拨】先求出集合A，再根据真子集对a分情况讨论． 【答案】0，1或
1 ． 25．写出满足?a,b??A?a,b,c,d?的所有集合A．
【知识点】子集与真子集．
【数学思想】
【解题过程】因为?a,b??A，则A中必须有元素a、b.又因为A?a,b,c,d?
则A?{a,b},{a,b,c},{a,b,d}．
【思路点拨】利用集合间的包含关系和真包含关系求解． 【答案】A?{a,b},{a,b,c},{a,b,d} ．
6．已知A??x|?2?x?5?,B??x|a?1?x?2a?1?，B?A，求实数a的取值范围． 【知识点】子集与真子集． 【数学思想】转化与化归思想．
【解题过程】若B??，a?1?2a?1,即a?2.
?2a?1?a?1?若B??，?2a?1?5,即2?a?3.
?a?1??2?综上，a?3.
【思路点拨】根据集合间的包含关系构造方程组或数量关系求解． 【答案】a?3.
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