圆与方程中的数学思想
圆与方程是高中数学解析几何的一个基础内容，在历年的高考中占有一席之地。本文就圆与方程中的数学思想在解题中的运用展开讨论，供同学们参考。
1．函数与方程思想
函数与方程思想在圆与方程中应用最广泛,求圆的方程，求直线与圆的交点，求圆与圆的交点等等都要运用到函数与方程的数学思想.
例1设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1．在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线1：x－2y=0的距离最小的圆的方程．
分析：本题给出了二个条件，我们需要把二个条件转化为代数式，然后联立方程。 解:设圆的圆心坐标为P（a，b），半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|． 由题设知圆P截x轴所得劣弧的圆心角为90°，于是圆P截x轴所得的弦长为2r，故
r2?2b2又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有 r2?a2?1
22从而得2b?a?1．
d?点P（a，b）到直线x－2y=0的距离为
22225d?|a?2b|?a?4b?4ab 所以，
|a?2b|5．
?a2?4b2?2(a2?b2)?2b2?a2?1，
2当且仅当a=b时上式取等号，此时5d?1，从而d取得最小值．
?a?b?222b?a?1． ?由此有
解此方程组得
?a?1?a??1??b?1?或?b??1．
222由r?2b知r?2，故所求圆的方程是
(x?1)2?(y?1)2?2，或(x?1)2?(y?1)2?2．
点评:本题是一道较为复杂的综合题,既要用到函数的最值求法,又要解方程组.一般情况下同学们对于复杂的方程组缺乏信心,因些解方程组时一定要先找好突破口,以免花费太多时间.
2．对称思想
圆既是中心对称图形,又是轴对称图形,对称的数学思想在圆中有着淋漓尽致的体现.解对称问题要把握对称的实质,结合几何图形来解题.
例2已知P(t,t)，点M是圆x2?(y?1)2?t?R，
11上的动点，点N是圆(x?2)2?y2?44上的动点，则|PN|?|PM|的最大值是（ ）
A．5?1
B．5
C．1
D．2
分析：如果把M，N看成圆上的动点，设出坐标，则本题变得特别复杂。所以，我们要考虑圆的对称性，把点到圆上的点的距离转化为点到圆心的距离来求解，减少未知量 解:由几何知识可知（三角形的性质）,|PN|,|PM|要取到最值,必过圆心.不妨设两圆的圆心分别为A,B,因此,原题转化为在直线y?x上找一个点P,使|PA|?|PB|最大.由例1可知,只需作点B关于直线y?x的对称点B’,显然B’的坐标是(1,0),从而原点即为要求的点.
故|PN|?|PM|的最大值为
51??2,选D 22点评：善于利用圆的对称性，是本题解题的关键所在。 3．数形结合思想
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性，形象性，使问题化难为易，化抽象为具体.
例3已知M?{(x,y)y?x?b}，N?{(x,y)y?9?x2}，若MN有两个元素，
求b的取值范围.
分析：集合M是一条直线的点的集合，集合N是一个半圆上的点的集合，故可以从图像上考虑直线与圆的交点问题。
解：集合M是斜率为1，在y轴上的截距为b的一束平行线，集合N是以原点为圆心，半径为3的圆在x轴上方的部分（包括与x轴的交点）.由题意作出图形，如图，当直线
y?x?b过(0,3)时，b?3.
当直线与半圆相切时，由点到直线的距离公式得
|b|2?3. y 32 M O ∴b??32，由图形易知b?0，故b?32，
A x ∴3≤b<32.
点评：在涉及到半圆或圆的一部分的题目时，如果解方程是相当困难的，而应用数形结合来解则比较简单.
4．化归思想
所谓转化思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题.
例4求圆(x?2)?(y?3)?4上的点到x?y?2?0的最近、最远距离.
分析：直接设圆上的点的坐标来求解，可以转化为三角函数的问题。但如果换一个角度，从几何图形的性质上来看，只需求出圆心到直线的距离即可轻松获解。
解：由圆的方程(x?2)?(y?3)?4易知圆心坐标为(2,?3)，半径r?2.而(2,?3)到
2222直线x?y?2?0之距为
|2?3?2|2?72. 2故圆上的点到直线的最远距离为
772?2，最近距离为2?2. 22点评：凡是涉及与圆有关的距离最值问题，常常转化为圆心的距离最值问题.
综上所述，数学思想在圆与方程的解题中有着重要的体现，灵活地利用数学思想，能速度提高同学们的解题能力。
相关推荐：
loading