0）、C（0，?1）三点，过坐标原点O的直线y?kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D（0，
?2）作平行于
x轴的直线l1、l2．
（1）求抛物线对应二次函数的解析式； （2）求证以ON为直径的圆与直线l1相切； （3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、
N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长．
yN A O M C D 图12 B xl1 l2
【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y?ax由
2?bx?c， ，解得
1?a??4??b?0?c??1???0?4a?2b?c??0?4a?2b?c??1?c?．
所以y?1x42?1．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），因为点M、
N在抛物线上，
所以y212?x1?11422，y2?12x2?14?1)?y22，所以x=(y222?4(y2?1)；
又ON=x
?y22=4(y2?2)2，
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所以ON=
y2?22，又因为y2≥?1，
所以ON=y?2．
设ON的中点为E，分别过点N、E向直线l1作垂线，垂足为P、F，
2?yNP则EF=OC?=， 222所以ON=2EF，
即ON的中点到直线l1的距离等于ON长度的一半，
所以以ON为直径的圆与直线l1相切． （3）过点M作MH⊥NP交NP于点H，则
MN2?MH2?NH2=(x2?x1)2+(y2?y1)2，
2又y1=kx1，y2=kx2，所以(y所以MN上， 所以kx?1x4所以x =所以(x22?y1)2=k2(x2?x1)2，
?(1?k2)(x2?x1)2；
又因为点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线
2?1，即x2?4kx?4?0，
1?k24k?16k2?1622=2k±2，
?x1)22=16(1?k)，
，
2所以MN?16(1?k2)2所以MN=4(1?k)．
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延长NP交l2于点Q，过点M作MS⊥l2于点S， 则MS + NQ = 又x21y1?2?y2=1x4211?1?x22?1?44=1(x421?x22)?2，
?x22=2[4k2?4(1?k2)]?16k2?82，
=4(1?k)=MN．
2所以MS + NQ =4k的长．
y?2?2即M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MNA O M E B N H xl P 1l Q 2C F S D 第24题
第五题末尾“浮云”遮望眼，“洞幽察微”深指向 例题（2012浙江宁波，26，12分）如图，二次函数
y?ax2?bx?c的图象交
x轴于A（－1，0），B(2，0)，
交y轴于C（0，－2），过A，C画直线． (1)求二次函数的解析式；
(2)点P在x轴正半轴上，且PA =PC，求OP的长； (3)点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线
AC相切，切点为H
①若M在y轴右侧，且△CHM ∽△AOC（点C与点
A对应），求点M的坐标；
②若 M的半径为45
5，求点
M的坐标．
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【答案】解：(1)设该二次函数的解析式为：y?a(x?1)(x?2) 将x=0，y=－2代入，得－2= a(0+1)(0－2) 解得a=1．
∴抛物线的解析式为y?(x?1)(x?2)，即y?x(2)设OP =x，则 PC=PA =x +1． 在Rt△POC中，由勾股定理，得x22
?x?2．
?22?(x?1)2
解得x?3，即OP?3．
22(3)① ∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO． 情形1：如图，当H在点C下方时， ∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x轴，∴y
M??2，∴x2?x?2??2，
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