2018年宁夏数学理科高考试题含答案（B4 可直接打印 也可缩印成A4纸） 

绝密★启用前

A．y??2x 6．在△ABC中，cosA．42 7．为计算S?1?B．y??3x C．y??32x x D．y??222018年普通高等学校招生全国统一考试 (宁夏卷)

理科数学

注意事项：

C5，BC?1，AC?5，则AB? ?25B．30 C．29 D．25 开始N?0,T?0i?1是1ii?100否考号： 1．答卷前，考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在答题卡上。

线 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

A．i?i?1

11111???…??，设计了右侧 的程序框图，23499100则在空白框中应填入

B．i?i?2 C．i?i?3 D．i?i?4

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。

N?N?T?T?S?N?T输出S结束姓名： 1?2i? 1．

1?2i43A．??i

551i?1

243B．??i

55

34C．??i

55

34D．??i

55封

8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想 的研究中取得了世界领先 的成果．哥德巴赫猜想是0?7?23．在不超过30 的素数“每个大于2 的偶数可以表示为两个素数 的和”，如32．已知集合A?A．9

??x，y?x

?y2≤3，x?Z，y?Z，则A中元素 的个数为 B．8

C．5

D．4

?中，随机选取两个不同 的数，其和等于30 的概率是 A．

1 12班级： ex?e?x3．函数f?x?? 的图像大致为

x2 B．

1 14 C．

1 15 D．

1 189．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?1，AA1?3，则异面直线AD1与DB1所成角 的

密 余弦值为

1A．

5 B．5 6 C．5 5 D．2 210．若f(x)?cosx?sinx在[?a,a]是减函数，则a 的最大值是

A．

D．0

π 4学校：

4．已知向量a，b满足|a|?1，a?b??1，则a?(2a?b)? A．4

B．3

C．2

B．

π 2 C．

3π 4

D．π

11．已知f(x)是定义域为(??,??) 的奇函数，满足f(1?x)?f(1?x)．若f(1)?2，则

f(1)?f(2)?f(3)?…?f(50)?

x2y25．双曲线2?2?1(a?0,b?0) 的离心率为3，则其渐近线方程为

ab排版不易，且下且珍惜。祝高考学子金榜题名！百度攸攸

1

A．?50 B．0 C．2 D．50

x2y212．已知F1，F2是椭圆C：2?2?1(a?b?0) 的左，右焦点，A是C 的左顶点，点P在

ab过A且斜率 为3 的直线上，△PF1F2为等腰三角形，?F1F2P?120?，则C 的离心率为 62 3A． B．

1 2

1C．

3 D．

1 4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线y?2ln(x?1)在点(0,0)处 的切线方程为__________．

?x?2y?5?0，?14．若x,y满足约束条件?x?2y?3?0， 则z?x?y 的最大值为__________．

?x?5?0，?15．已知sinα?cosβ?1，cosα?sinβ?0，则sin(α?β)?__________． 16．已知圆锥 的顶点为S，母线SA，SB所成角 的余弦值为

7，SA与圆锥底面所成角为8为了预测该地区2018年 的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t 的两个线性2，…，17）建立回归模型．根据2000年至2016年 的数据（时间变量t 的值依次为1，???30.4?13.5t；根据2010年至2016年 的数据（时间变量t 的值依次为模型①：y??99?17.5t． 1，，2…，7）建立模型②：y45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥 的侧面积为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

记Sn为等差数列{an} 的前n项和，已知a1??7，S3??15． （1）求{an} 的通项公式； （2）求Sn，并求Sn 的最小值． 18．（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元） 的折线图．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年 的环境基础设施投资额 的预测值； （2）你认为用哪个模型得到 的预测值更可靠？并说明理由．学科*网 19．（12分）

设抛物线C：y2?4x 的焦点为F，过F且斜率为k(k?0) 的直线l与C交于A，B两点，|AB|?8． （1）求l 的方程；

（2）求过点A，B且与C 的准线相切 的圆 的方程． 20．（12分）

如图，在三棱锥P?ABC中，AB?BC?22，PA?PB?PC?AC?4，O为AC 的中点．

（1）证明：PO?平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M?PA?C为30?，求PC与平面PAM所成角 的正弦值．

2

P参考答案

一、选择题

1.D 7.B

2.A 8.C

3.B 9.C

4.B 10.A

5.A 11.C

6.A 12.D

ABOMC二、填空题 13.y?2x 三、解答题 17. (12分)

解：（1）设{an} 的公差为d，由题意得3a1?3d??15. 由a1??7得d=2.

所以{an} 的通项公式为an?2n?9.

22（2）由（1）得Sn?n?8n?(n?4)?16.

14.9 15.?21．（12分）

已知函数f(x)?ex?ax2．

（1）若a?1，证明：当x?0时，f(x)?1； （2）若f(x)在(0,??)只有一个零点，求a．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做 的

第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

?x?2cosθ，xOy在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为?（θ为参数），直线l 的参

?y?4sinθ1 216.402π

数方程为

?x?1?tcosα，（t为参数）． ?y?2?tsinα?所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为?16. 18.(12分)

解：（1）利用模型①,该地区2018年 的环境基础设施投资额 的预测值为

（1）求C和l 的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段 的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

设函数f(x)?5?|x?a|?|x?2|．

（1）当a?1时，求不等式f(x)?0 的解集； （2）若f(x)?1，求a 的取值范围．

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3

???30.4?13.5?19?226.1(亿元). y利用模型②,该地区2018年 的环境基础设施投资额 的预测值为

??99?17.5?9?256.5(亿元). y（2）利用模型②得到 的预测值更可靠. 理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年 的数据对应 的点没有随机散布在直线

y??30.4?13.5t上下.这说明利用2000年至2016年 的数据建立 的线性模型①不能

很好地描述环境基础设施投资额 的变化趋势.2010年相对2009年 的环境基础设施投

资额有明显增加，2010年至2016年 的数据对应 的点位于一条直线 的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额 的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016

??99?17.5t可以较好地描述2010年以后 的环境基础设年 的数据建立 的线性模型y施投资额 的变化趋势,因此利用模型②得到 的预测值更可靠.学.科网

?y0??x0?5,?x0?3,?x0?11,?2解得或? ??(y0?x0?1)2?16.?y0?2?y0??6.?(x0?1)??2因此所求圆 的方程为(x?3)?(y?2)?16或(x?11)?(y?6)?144. 20.(12分)

2222（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年 的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到 的预测值226.1亿元 的增幅明显偏低,而利用模型②得到 的预测值 的增幅比较合理.说明利用模型②得到 的预测值更可靠.

以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19.(12分)

解：（1）由题意得F(1,0)，l 的方程为y?k(x?1)(k?0). 设A(x1,y1),B(x2,y2)，

且OB?AC，OB?解：（1）因为AP?CP?AC?4，O为AC 的中点，所以OP?AC，且OP?23. 连结OB.因为AB?BC?2AC，所以△ABC为等腰直角三角形， 21AC?2. 2由OP2?OB2?PB2知PO?OB. 由OP?OB,OP?AC知PO?平面ABC.

?y?k(x?1),2222由?2得kx?(2k?4)x?k?0. ?y?4x2k2?4. ??16k?16?0，故x1?x2?2k2uuurOB 的方向为x轴正方向，（2）如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O?xyz.

4k2?4所以|AB|?|AF|?|BF|?(x1?1)?(x2?1)?.

k24k2?4?8，解得k??1（舍去）由题设知，k?1. 2k因此l 的方程为y?x?1.

（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y?2??(x?3)，即y??x?5.

设所求圆 的圆心坐标为(x0,y0)，则

设平面PAM 的法向量为n?(x,y,z).

4

uuur由已知得O(0,0,0B),(2,0,A0)?,(0,C2,0),P(0,2,0),,AP(0,?(0,0,22,32)3),uuur取平面PAC 的法向量OB?(2,0,0).

uuur设M(a,2?a,0)(0?a?2)，则AM?(a,4?a,0).

uuuruuur??2y?23z?0由AP?n?0,AM?n?0得?，可取n?(3(a?4),3a,?a)，

ax?(4?a)y?0??uuur所以cosOB,n?uuur3.由已知得|cosOB,n|?. 222223(a?4)?3a?ae2①若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)没有零点；

4e2②若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)只有一个零点；

4e2③若h(2)?0，即a?，由于h(0)?1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，

4由

（

1

）

知

，

当

23(a?4)34所以.解得a??4（舍去），a?. =2323(a?4)2?3a2?a223|a?4|uuuruuur834343,,?).又PC?(0,2,?23)，所以cosPC,n?所以n?(?. 3334所以PC与平面PAM所成角 的正弦值为21．（12分）

【解析】（1）当a?1时，f(x)?1等价于(x?1)e设函数g(x)?(x?1)e2?x2?xx?0时，

ex?x2，所以

3. 416a316a316a31h(4a)?1?4a?1?2a2?1??1??0． 4e(e)(2a)a故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,??)有两个零点．

?1?0．

e2综上，f(x)在(0,??)只有一个零点时，a?．

422．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

?1，则g'(x)??(x2?2x?1)e?x??(x?1)2e?x．

当x?1时，g'(x)?0，所以g(x)在(0,??)单调递减． 而g(0)?0，故当x?0时，g(x)?0，即f(x)?1．

2?x（2）设函数h(x)?1?axe．

x2y2【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为??1．

416当cos??0时，l 的直角坐标方程为y?tan??x?2?tan?， 当cos??0时，l 的直角坐标方程为x?1．

（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程

f(x)在(0,??)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,??)只有一个零点．

（i）当a?0时，h(x)?0，h(x)没有零点；

?x（ii）当a?0时，h'(x)?ax(x?2)e．

(1?3cos2?)t2?4(2cos??sin?)t?8?0．①

因为曲线C截直线l所得线段 的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1?t2?0． 又由①得t1?t2??当x?(0,2)时，h'(x)?0；当x?(2,??)时，h'(x)?0． 所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,??)单调递增． 故h(2)?1?4(2cos??sin?)，故2cos??sin??0，于是直线l 的斜率

1?3cos2?4a是h(x)在[0,??) 的最小值．学&科网 2e5

k?tan???2．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

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?2x?4,x??1,?【解析】（1）当a?1时，f(x)??2,?1?x?2,

??2x?6,x?2.?可得f(x)?0 的解集为{x|?2?x?3}． （2）f(x)?1等价于|x?a|?|x?2|?4．

而|x?a|?|x?2|?|a?2|，且当x?2时等号成立．故f(x)?1等价于|a?2|?4． 由|a?2|?4可得a??6或a?2，所以a 的取值范围是(??,?6][2,??)．

6