[备战高考]2019年高考数学一轮复习第4章第3节《三角函数的图象与性质》

备战高考

2019年高考数学一轮复习 第4章三角函数将、解三角形

第3节三角函数的图象与性质

考试要求：

1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．

2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交

?ππ?点等)，理解正切函数在区间－2，2内的单调性. ??

知识梳理，自主学习

一、基础知识梳理

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

?π?

(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，?，1?，

?2?

?3π?

?，(2π，0). (π，0)，?，－1

?2??π?

(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，?，0?，

?2?

?3π?

?，(2π，1). (π，－1)，?，0

?2?2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 递增区间 R [－1，1] 2π 奇函数 R [－1，1] 2π 偶函数 [2kπ－π，2kπ] πx∈R，且x≠{x| kπ＋2} R π 奇函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 无 ?kπ??，0? ?2?递减区间 对称中心 (kπ，0) [2kπ，2kπ＋π] π???kπ＋，0? 2??对称轴方程

πx＝kπ＋2 x＝kπ 无 ★★★知识拓展提升★★★ 1.对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周1期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是4个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆. 二、双基自测训练

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y＝sinx在第一、第四象限是增函数．( × )

π2π?π2π

＋＝sin知，是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．( × ) (2)由sin??63?63(3)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( × ) (5)y＝sin|x|是偶函数．( √ ) 题组二 教材改编

π

2x＋?的最小正周期是________． 2．函数f(x)＝cos?4??答案 π

ππ

2x－?在区间?0，?上的值域是________． 3．y＝3sin?6???2?3

－，3? 答案 ??2?

ππ5ππ

0，?时，2x－∈?－，?， 解析 当x∈??2?6?66?π1

2x－?∈?－，1?， sin?6??2??π3

2x－?∈?－，3?， 故3sin?6??2??π3

2x－?的值域为?－，3?. 即y＝3sin?6???2?4．y＝tan2x的定义域是________．

??kππ

x≠＋，k∈Z? 答案 ?x?24???

πkππ

解析 由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，

224

??kππ

x≠＋，k∈Z?. ∴y＝tan2x的定义域是?x??24

?

?

π

5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的是( )

3π2x＋? A．y＝2sin?3??xπ?C．y＝2sin??2＋3? 答案 B

π2π

2x－?的周期T＝＝π， 解析 函数y＝2sin?6??2ππ

2×－?＝1， 又sin??36?

ππ

2x－?的图象关于直线x＝对称． ∴函数y＝2sin?6??3

π

－2x?的单调递减区间是______________________． 6．函数f(x)＝4sin?3??π5

kπ－，kπ＋π?(k∈Z) 答案 ?1212??ππ

－2x?＝－4sin?2x－?. 解析 f(x)＝4sin?3??3??所以要求f(x)的单调递减区间，

π

2x－?的单调递增区间． 只需求y＝4sin?3??πππ

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得

232π5

－＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)． 1212

π5

－＋kπ，π＋kπ?(k∈Z)． 所以函数f(x)的单调递减区间是?12?12?7．cos23°，sin68°，cos97°的大小关系是________． 答案 sin68°>cos23°>cos97° 解析 sin68°＝cos22°，

又y＝cosx在[0°，180°]上是减函数， ∴sin68°>cos23°>cos97°.

π2x－? B．y＝2sin?6??π2x－? D．y＝2sin?3??

考点突破，深度剖析

考点一 三角函数的定义域

1

的定义域为________.

tan x－1

1

(2)函数y＝lg(sin x)＋cos x－2的定义域为________. 【例1】 (1)函数y＝

解析 (1)要使函数有意义，必须有

π??tan x－1≠0，x≠?4＋kπ，k∈Z，?

?π即?

πx≠＋kπ，k∈Z，?2???x≠2＋kπ，k∈Z.故函数的定义域为

??π

?x|x≠

4??

??π

＋kπ，且x≠2＋kπ，k∈Z?.

??

sin x>0，sin x>0，????

(2)函数有意义，则?即?11

cos x－2≥0，?cos x≥2，????2kπ

?解得?π π

－＋2kπ≤x≤3＋2kπ（k∈Z），??3π

所以2kπ

????π?所以函数的定义域为x|2kπ

3????

答案

??π

(1)?x|x≠

4????π

＋kπ，且x≠2＋kπ，k∈Z?

??

??

(2)?x|2kπ????π

??