2020-2021学年北师大版八年级下学期期中模拟数学试卷及答案

问题的转化：

把△APC绕点A逆时针旋转60度得到△AP′C′，连接PP′，这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定BP+PP′+P′C′的最小值的问题了，请你利用图1证明：PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′．

问题的解决：

当点P到锐角△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此时的点P的位置 ∠APB=∠APC=120° ． 问题的延伸：

如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值． 【解答】解：问题的转化：

如图1，由旋转得：∠PAP'=60°，PA=P'A， ∴△APP'是等边三角形， ∴PP'=PA， ∵PC=P'C，

∴PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′． 问题的解决：

满足：∠APB=∠APC=120°时，PA+PB+PC的值为最小；

理由是：如图2，把△APC绕点A逆时针旋转60度得到△AP′C′，连接PP′， 由“问题的转化”可知：当B、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小， ∵∠APB=120°，∠APP'=60°， ∴∠APB+∠APP'=180°， ∴B、P、P'在同一直线上， 由旋转得：∠AP'C'=∠APC=120°， ∵∠AP'P=60°，

∴∠AP'C'+∠AP'P=180°， ∴P、P'、C'在同一直线上， ∴B、P、P'、C'在同一直线上， ∴此时PA+PB+PC的值为最小， 故答案为：∠APB=∠APC=120°； 问题的延伸：

如图3，Rt△ACB中，∵AB=2，∠ABC=30°， ∴AC=1，BC=

，

把△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，

当A、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小， 由旋转得：BP=BP'，∠PBP'=60°，PC=P'C'，BC=BC'， ∴△BPP′是等边三角形， ∴PP'=PB，

∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C'BP'=30°， ∴∠ABC'=90°， 由勾股定理得：AC'=

∴PA+PB+PC=PA+PP'+P'C'=AC'=

=，

．

=

，

则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为